Tüéobème. Soient x=p + une variable imaginaire, a

une valeur particulière de cette variable , et t = a (3 ^/TJ" un accroissement attribué à la valeur a. Concevons d'ailleurs que, p , q , * , p , a , p étant des quantités réelles , on désigne par

le module de par f(x ) une fonction dont les dérivées ne puissent s'é¬

vanouir toutes à la fois, cl par y[p,q) , 7t{p,q) deux fonctions réelles de p et de q propres à vérifier la formule

Enfin posons

dx[p^)

À’» /a fonction f{x) reste continue , ainsi que sa dérivée f \&)* et conserve un module supérieur à celui de C expression

(78) fia + i),

qui offrent un module égal à p ,

sont telles quon ne puisse trouver parmi ces dernière \s deux quantités dont le produit se réduise à — 1 ; l’équation (1) admettra une seule racine imaginaire de la forme a -f- 1 -|- z , le module de z étant inférieur à p .

Démonstration. En effet , si , dans la fonction f{x) = f[a 4- i 4* z) • on varier * par degrés insensibles , mais de manière que le module de : ne dépasse pas la limite p , on obtiendra pour cette fonction une infinité de valeurs dont l’une offrira un module plus petit que toutes les autres. Soient s0 , p0 , qa les valeurs de z , p , q correspondantes à ce plus petit module , en sorte qu’on ait

pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de 1 si de plus les valeurs correspondantes du rapport

DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES. a + i+*o=Po -h<70t/“

Le module de z% sera plus petit que p ; et l’expression

(81) fia + « + *<,) = /(P« +?•!/” )

s'évanouira nécessairement. Car, si le contraire arrivait , alors , en attribuant à la variable a une valeur infiniment peu différente de a. , et par conséquent au module de a une valeur comprise entre les limites o , f . on pourrait choisir ces valeurs de manière que le module do /(a+t + *) devint inférieur au module de /(<* + * + =.) [voyei le 5.‘ théorème de la treizième Leçon], Donc, si les conditions énoncées dans le 6'. théorème sont remplies , l’expression f[a + i + s.) sera nulle , et l’équation ( 1 ) admettra une racine x = a + t + ;, dans laquelle le module de s restera inférieur à p. J’ajoute qu’une seule racine a -h 4" z* ~ 4* 9o[/-i jouira de cette propriété. Car,

si l’on avait en même temps

(82) f[Po 4“ 9o{/~) = 0 t /[po + M + (7« + <Ol/"] = 0 •

po u , qo 4. v désignant des valeurs réelles de p et de q , distinctes de p0 , q0 ,

et correspondantes à un module de 2 plus petit que p , on en conclurait

(83) ?(/>o»<7°) = 0 > <?(Po4-M><7° + ®) = 0 »

D’ailleurs, en ayant égard non-seulement à la formule (75) de laquelle on tire

mai* encore à la formule (20) de la vingt-troisième Leçon, et représentant par 9 , © deux nombres inférieurs à l’unité, on trouverait

1 ?(p„ 4- u,qo + 0) — f{Po,q0) 4" “?'(/><> + 4* 0®) ~ ®x'(Po 4* 4- 6®) »

! z(/jo4-a,<jfo4-®):=x(/,«><7o)4-Mx'(Po4-0“>7o4-0®)4-®?'(Po4-0“Wo4-®«) ;

puis on déduirait de ces dernières-équations combinées avec les formules (83) et (84)

NOTE SUR LA RÉSOLUTION

<?'(po + 0u,qo + Qy) <f/(p0 + Qu,q0 + &v) ^

x'[Po + 0u,qo + Bv) x'(Po + ©u,<7° + 0,?)

Or l’équation (88) ne pourrait subsister qu’autant que les deux valeurs du rapport (79) qui correspondent i.° à p = po-\-0u , q = <7o4"9v* 2.°à p = p0-\-®u , q=q0- -|-0v fourniraient un produit égal à — 1 ; ce qui n’aura pas lieu dans l’hypothèse admise, attendu que les modules des différences

p0 4* e« 4~ (ÿo -h — (a -f- 1) , p0 -f- 0 « 4* (ÿo 4" \/-i — (a "h *)

seront, en vertu du lemme 5, compris entre les modules des suivantes

Po + 7oV/“ — (a + t) , + (?o 4“ «) ~ (a + 0 .

et par conséquent inférieurs à p. Donc alors l’équation (1) n’offrira qu’une racine imaginaire correspondante à un module de z plus petit que la quantité p .

Corollaire. Lorsque le rapport (79) conserve constamment le môme signe pour toutes les valeurs de z qui offrent un module inférieur à p , alors parmi ces valeurs de z on n’en peut trouver qu’une seule à laquelle corresponde une racine de l’équation (1).

7.® Théorème. Soient x=p-\-q{/~ une variable imaginaire, a = \ -J- py/Tf une valeur particulière de celte variable, i = i 4- £ «ne expression imaginaire propre à vérifier la formule (5) ; et posons x = a + i “h z . Concevons de plus que , p , q \ > , f* , a , p étant des quantités réelles , on désigne par f[x ) une fonction réelle ou imaginaire de x dont les dérivées ne puissent s’ évanouir toutes à la fois. Enfin soient p le module de i , et B un nombre égal ou supérieur au plus grand des modules qu'acquiert la fonction /"{x), tandis que le module de z reste compris entre les limites o , p . Si le module de C expression

(89) /»=/'(> + fV~)

surpasse le produit

C équation (1) admettra une seule racine imaginaire de la forme a -j- * 4" z * l e rno~ dule de z étant inférieur à p.

Démonstration. Adoptons les notations employées dans les formules (75), (77); et faisons en outre

« , v désignant deux quantités réelles ,

(92) |[?'(M]’ + [>/(M]aiî>

(95) d^tsL =iïÿiL=î>>î).

L’équation (75) entraînera évidemment les suivantes

(94) /'(p+»t/--0 = T'(/>.»)+V-‘x'(pw). /'(/-+<4/'0 = t"(p.v)+V/-'x'(p1'?>-

De plus on tirera des formules (86) . i.° en les différenciant par rapport à p ,

ou , ce qui revient au même ,

dp dq dp