en les différenciant par rapport à
/ \ •* Tvr;
dpdq
rfx'(P><7)
__ dg'(p,q) ,
dq
dp
rf3x(/M)
rf3?(PW) *
dpdq
rfax(/v?)
dq-
dpdq
On trouvera par suite » en considérant p et 7 comme variables indépendantes ,
(98) d'f(p,q) = <ï\p,q)dp — xr(p,q)dq, d%(p,q)=zx'(ptq) dp +?'(/>>
/ d*'f{p,q) = Ÿ"(p, q) • (<4> 3 ~ 3) — » x"(/> > 7) • dp dq ,
rf3x(p>7) =x//(pw)*(^pa ■” rf<7a) "h a?"(p>7) -dpdq ,
(100) d<f'(p,q) =<f"(p,q)dp — x"(p,q)dq, d%'(p,q) =x''{p,q)(*P + <?"(p>q)ti<} - D’autre part, comme on aura
on conclura des équations (76) et (94)
NOTE SUR LA RÉSOLUTION
(10a) | //(*)=ç'(X4-«4-a, f*+p + p) + \Az'(^4“a4-“ > <*4-P4-®) >
Enfin , comme l’équation (5) pourra être présentée sous la forme
( ,03) /(> 4- pl/-”») 4- (a 4- 4* * -I- (f* 4- Ê) Ve» ] = 0 *
on tirera de cette équation, réunie aux formules (75) et (94),
?(*,**) 4- *7'(x>/*) — Px'(x»fO — 0 9
Soient maintenant e, , 0. , fl, , 0, des nombres inférieurs à l’unité. Les équations (18) et (20) de la vingt-troisième Leçon, combinées avec les formules (98), (99), donneront
,(> +« + «,(. +p+») = »(».(*) + («+ “WM - (P + »)x'(V)
x(x + «+u,p4.p+tO=x(^iO-H«+“)x'0>t*) + (P-t-'’)?'(M I («+«)* -(P+p)* x'-^A+e,(«+u),|.+0,(?+»)]+(s>+“Kf +“)î"[1+ 0 '(’+“)
ou , ce qui revient au même ,
I T.pxii («+a)(P+»)/[*+M“+“)'P+e-(P+li)’
, i^HOMP+Ül . n+e1(«+a),?+e.(p+»)]+(«+«XM^)ï'[^0‘(a+“)’l‘+0,^+’):l;
et
4-(a4-a)x''[X4-0,(«+a),fii4'®a(?+t,)]+(?-i-®)T,'^4-®a(«+“)»f*-l-e.(P4*»)]-
D’ailleurs, en vertu du lerame i.«et des suppositions admises, les valeurs numériques des expressions
/(PW) («■ + «)((> + v)x"{p,q),
la.,|~“),;(p+t’)‘- z *(m) + («+«)(?+ «) »'(p.?) .
resteront inférieures au produit
et les valeurs numériques des expressions
(a + «)?Uî) — (P4-®)x"(P>9) » («4-<0x#(P»f) 4- (P4“®)?*(P»f)
au produit
L(a +u)94-(p+ »)•]* ( [?"( p, q]Ÿ 4* Lx"(p» f )? } 7<B [(« 4- «0* 4- (P4-®)*]7 »
toutes les fois que le module de z, savoir, , vérifiera la condition
(108) (tt94-**)J= ou <?•
Donc alors, en désignant par ô', ®', 6", ®' des nombres inférieurs à l’unité , on tirera des formules (106), (107)
( Ÿ(^4"a4“w»fA4“p4*v) = — «x (*,p) zfc 0 2? - ,
I x(* 4- a 4- «*>f* 4- P 4- v) = 4* =fc0,Æ — - — ■- ?
( «p'(> -f- <x 4* 4- P 4- ») = ov^[(«4- u)* 4- (P 4-®)*]*»
.j 8 o note sur la résolution
Cela posé, la première des formules (102) donnera
puis on en conclura , en prenant u = o , v = o ,
Donc l’expression imaginaire
(78) /(« + o=/[x+«+(,.+ft»r>]
aura pour module la quantité
(1 13) + a <~^B? Vr •
D’autre part , comme , en vertu du lemme 2 , le module de l’expression imaginaire
savoir,
sera inférieur au doubla du module de t , et vérifiera par conséquent la condition
(1,4) t(« + «)’ + CP + »)■]* < aP »
tant que le module de z ne surpassera pas le module p ; il suffira de prendre
et de supposer
(116) i?x > 2 Bp \/T ,
pour que la fonction f (<e) , déterminée par la formule ( 1 1 1 ) , offre un module supérieur à la différence
(117) piî, — (0'» + 0'*)ï2Bp»>p(/îI-aBpv/r).
Donc ce dernier module surpassera celui de l’expression (78) , si l’on a
et , à plus forte raison , si l'on a
Alors aussi les diverses valeurs du rapport (79) , correspondantes & des modules de t plus petits que p , seront telles que , parmi ces valeurs , on ne pourra en trouver deux qui fournissent un produit égal à —1. En effet , si l’on choisit « et v de manière h vérifier la condition
(,20) ou <P,
on aura, en vertu des formules (uo) et (n4) *
(121) ?'(p,f)=y(X, p)=h20i?p, x'(p,?) = x'(V)±:a0Bp,
6 , 0 désignant deux nouveaux nombres inférieurs à l’unité. En d’autres termes , la fonction <f'{p,q) restera comprise entre les limites
— 2 Dp y
et la fonction x{p>q) entre *es Hm‘tes
— 2 Bp, x'(x>f*) + •
11 est aisé d’en conclure que , si l’on désigne par p0 , q0 , pi , «7» deux systèmes de
valeurs de p et q correspondants à des modules de * plus petits que P, la somme
restera comprise entre la plus petite et la plus grande des seize valeurs que peut acquérir l’expression
(125) [?'(>, f*) ±- 3Æp][>' (V) — aBPl + Cx'CV) — 2#PÏÏx'(VfO — 2flPl »
eu é^ard aux doubles signes qu’elle renferme. Donc , si 1 on nomme ç, , x» ^es va” leurs0 numériques de ?'(M et de *'(*, f*) > liées entre elles par la formule
la somme (122) ne pourra devenir inférieure à la plus petite des seize valeurs de 1 expression
(„5) (p, ± aS p)(?. ± »Bp) + (X. ± »BP)(X- ± »Bp) •
NOTE SUR LA RESOLUTION
Or celte plus petite valeur sera évidemment positive, si la condition (119) est remplie, et se réduira ,.dans ce cas, à Tune des trois quantités
(126) (ïi zBpY,
(127) (fl - 2BPy — (2 Bp - P + X») = *■* - 4#PŸ» >*.(*. - 4 Bp) ,
(128) (x» — 2 Æp)» ~ (a£p “ + ?«) = R'3 ~ 4^PX« > ~ 4*p) >
savoir à la quantité (126) , si l’on a en même temps
(139) ?i>» Bp, x* > 2RP >
à la quantité (127) , si Ton a
(i3o) x» < 2-^P * et par suite <?, > \/Bs — 4#*pa > *Bp\/T , enfin à la quantité (128) , si l’on a
( 1 3 1 ) y* < 2 Bp et par suite — 4 B3‘p* > 2 Bp\/T .
Donc alors l’expression (122) restera toujours positive, cl la formule
v\p<»q°) ?'(?»» ?») x'(Po,<7o) x'{Pi>*h)
11e sera jamais vérifiée. D’autre part, nous avons déjà prouvé que, dans le même cas, le module de l’expression (78) est inférieur à tous ceux que peut acquérir la fonction f{ x) , tandis que le module de s reste égal à p. Donc alors, en vertu du théorème 6, l’équation (1) admettra une seule racine correspondante à un module de s plus petit que p.
8.* TuéoREMR. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 7 , désignons par A le plus petit module que puisse acquérir la fonction f (æ) = f [a 4- t 4" 2) » tandis que le module de z varie entre tes limites o et p. Soient d'ailleurs
(i33) 6 = a + i\ et (i34)
Si le produit
est inférieur au nombre A , C équation (1) admettra une racine imaginaire qui sera
non-seulement de la forme a+« + * = 4 + *. le module de z étant inférieur à p, mais encore de la forme b+j + s, le module de s étant plus petit que celui de j .
Démonstration. Lorsque le produit (90) est plus petit que A, il est, à plus forte raison , inférieur au module de f'[a ) . Donc alors , en vertu du 7.* théorème , l’équation (1) offre une racine, mais une seule, de la forme a + t + z. le module de *
étant inférieur h p. D’ailleurs, si les conditions énoncées dans les théorèmes 7 et 8 sont remplies , le module de /(*) = /(« + i) ne surpassera pas le second membre de la formule (u5) , et par suite la valeur de j , déterminée par l’équation (104) ou
(>35) J y'fa+t) ’
offrira un module p, qui vérifiera la condition (i56) P.
Donc . tant que le module de s restera inférieur h celui de j , le module de j + s restera inférieur b p , 00 même b P » et les modules des deux expressions
demeureront le premier supérieur à A. le second inférieur à B. Cela posé, comme, p, étant plus petit que p, le produit 4Bp. restera inférieur à A. et, i plus forte raison, au module de /'(<0 , on prouvera, par des raisonnements semblables b ceux à l’aide desquels on a établi le théorème 7, que la racine ci-dessus mentionnée est de la forme b+j + s , le module de s étant inférieur à p. .
Corollaire 1.» On voit, par ce qui précède, comment, étant donnée la valeur approchée d’une racine imaginaire de l’équation (1), on peut, à l’aide de la formule (5) ou (8), obtenir de nouvelles valeurs approchées, et resserrer de plus en plus les limites entre lesquelles le module de la racine se trouve compris. Il est bon d’observer que les différences i + z , j + 8 entre la racine cherchée et ses deux premières valeurs approchées a, b, offriront, en vertu du lernrne 2 et do la formule (i36) , des modules inférieurs aux nombres
