Théorème. Lorsque les fonctions

s'évanouissent avec la variable x, et demeurent continues , ainsi que la fonction dérivée fw(®), depuis xz=o jusqu'à x = k, il existe entre les limites o et 1 une valeur de 0 propre à vérifier la formule

Soit maintenant f{x ) une fonction de x qui obtienne une valeur finie positive ou négative pour x = xD , et qui reste continue , ainsi que la fonction dérivée f(x), depuis £D = £C0 jusqu’à x = X. Si l’on pose

on trouvera

Par suite, les formules (1) et (3) donneront

ou, ce qui revient au même.

On peut donc énoncer le théorème suivant.

'5.® Théorème. Lorsque la fonction f{x) conserve une valeur finie pour x — x%> et reste continue , ainsi que sa dérivée f\x ) , depuis x = x0 jusqu'à x = x0 + U, il existe entre les limites o et 1 une valeur de 0 propre à vérifier l'équation

De même, si. clans la formule (7), on suppose f(x), F(x) déterminées par les équations

(17) f (*) == /(x) — f{x0) , F (as) = (x — xe)« ,

on obtiendra cet autre théorème.