Théobême. Lorsque les fonctions
(18) /(*), f'(x) , /MW
se réduisent , pour x = x0 , la première à une quantité finie , les suivantes à zéro r et restent continues , ainsique fw(x), depuis x = x0 jusqu à x = x0-\-k, il existe entre les limites 0 et 1 une valeur de 0 propre à vérifier l équation
Au reste, les formules (16) et (19) se trouvent comprises dans celles que l’on déduit des équations (3) et (7) , en substituant aux fonctions f et F deux, autres fonctions. f ci F liées aux deux premières par les formules
Alors en effet on tire de l’équation (3) -
, , f{Mh)-f{x0) f'Xxo + Qh)
V ] F(x0 + h) - F{x0) F'(x0+Qh) ’
et de l’équation (7)
/(*, + *) -/(*,) f™(xo + 0h)
(22j F(xo+h)-F{x0) FW(x0+Qh) ■
La formule (22) , qui coïncide avec la formule (21), quand le nombre n est préci sèment l’unité, suppose, i.° que , pour x=x0, les fonctions /(x) , F(x) se réduisent à des quantités finies, et les fonctions dérivées
( F\x), F"{x) y ... FCn~l>(x) ,
à zéro; 2.0 que chacune des fonctions dérivées
(24) *>), F'{X) , ... F*-'>(x) , FW( 0)
ne change pas de signe entre les limites x = x0, x= X) 3.* que les fonctions (20 restent continues entre ces limites aussi bien que /(x) , F(x) et f<-n\x) Fw{x)..
Détermination des valeurs que prennent les fonctions réelles d’ une seule variable, quand elles se présentent sous les formes indéterminées — , , oXi“» 0 ° > 00 *’
i , etc....
Les principes établis dans la Leçon précédente fournissent le moyen de fixer la véritable valeur d’une fraction dont les deux tenues sont des fonctions réelles de la variable x , dans le cas où l’on attribue à cette variable une valeur particulière pour laquelle la
fraction se présente sous la forme indéterminée — . En effet , soit
___£( fl
la fraction dont il s’agit , et supposons que la valeur particulière x = x0 réduise s à
la forme —, en faisant évanouir f (sc) et F(cc) . La valeur de « correspondante o
à x = x0' ne sera autre chose que la limite dont s s’approche indéfiniment, tandis que x s’approche de x0. Cela posé, concevons que l’on désigne par X une quantité très-peu différente de x0 , et par £ une autre quantité comprise entre x„ et X. Comme , en général , chacune des fonctions f(æ), F (a?), i (x) , F (x) restera continue , et conservera le même signe depuis la valeur particulière de x représentée par x0 jusqu’à une valeur tçès-voisine x = X , on pourra, en vertu de la formule (î) de la 4*e Leçon, choisir la quantité Ç de manière à vérifier l’équation
Si maintenant la quantité X vient à sc rapprocher indéfiniment de la limite x0 , il en sera de même, à plus forte raison, de la quantité £, et le second membre de l équation (2) aura évidemment pour limite la valeur de la fraction
correspondante à x = x0 • On peut donc énoncer la proposition suivante.
i.er Théorème. Lorsqu une valeur particulière du rapport se présenté sous la
forme — cette valeur coïncide avec la valeur correspondante du rapport ■ ■■ . ' o * * W
Exemples. En vertu du théorème qui précède, on aura , pour x = o ,
sinÆ* a^rcosa;1
sina; cos# 1 ^
pour x = 1 ,
Il est bon d’observer que l’équation (2) et le théorème 1." s’étendent au cas même ou la constante x0 devient infinie. Seulement X et ç représentent alors deux quantités, dont les signes sont les mêmes que celui de œ0 , et dont les valeurs numériques sont très-grandes, la valeur numérique de Ç étant supérieure à celle de X.
Si les fonctions f'(a;) , F'(x) s’évanouissaient à leur tour pour x = x0 , la valeur particulière du rapport ^ j - se présenterait elle-même sous la forme ~ , et coïnciderait, en vertu du théorème i.cr, avec la valeur correspondante du rapport
dont les deux termes sont les dérivées du premier ordre de f'(£c) et de F '(as). Si les fonctions f"(æ) , F"(æ) s’évanouissaient encore, il faudrait, pour obtenir la valeur cherchée de s , recourir h la fraction
etc.... En continuant ainsi, on déduira sans peine du premier théorème celui que noui allons énoncer.
a.e Théorème. Lorsque les fonctions
F(jd), F'(a)f F», ... F*— >(*).
s'évanouissent toutes pour la valeur particulière x = du rapport
JM
coïncide avec celle du rapport
Exemples. En vertu du théorème 2 , on aura , pour
la valeur correspondante
i-cosæ sinaa? cosæ 1 <r-sina> 1 î-cosa; 1
ex -e—x - 2X ex + e~x - 2
æ-sin« î-cosx
ex-e~x ex + e~x
sin# Cosx
etc...
Si, dans les théorèmes 1 et 2, on fait, pour abréger,
on aura , en vertu de ces mêmes théorèmes , et pour œ
ou bien
z "* 2W dnz
L’équation (6) suppose que , pour x = x0 , la valeur de -j- se présente sous la forme indéterminée — , et l’équation (7) que les valeurs correspondantes de
yt y * y(n— l)
se présentent encore sous la même forme.
Si la valeur particulière x = x0 rendait infinies les deux fonctions ^ = f(aî) et t=z F(x) , elle réduirait à zéro les deux suivantes
CINQUIÈME LEÇON. '»i
et, comme les dérivées de ces dernières sont respectivement
on aurait, pour x = x0 » en vertu du théorème i.,r.
ou , ce qui revient au même ,
En multipliant par ~ les deux membres de la formule précédente , on en conclura
Par conséquent, l’équation (6) s’étend au cas mêmé où la fraction ~ — se Pr<^
sente sous la forme indéterminée — — —
celui que nous allons énoncer.
ô.e Théorème. Lorsqu'une valeur particulière du rapport
et l’on peut joindre encore au théorème 1
se présente sous la
forme indéterminée ^ , celle valeur coïncide avec la valeur correspondante du
raPP°rt ~W{x)~ *
Exemple . On a , pour x = o ,
*(ür) sin’a? ~
cota?
- sin x — sin x = o .
Corollaire . Le 5.* théorème s’étend, ainsi que le premier, au cas même où la valeur particulière attribuée h la variable x devient infinie. Par suite, lorsque la valeur numérique de la fonction î{x) croît indéfiniment avec celle de la Variable x , on a , pour x = i oo ,
lifl = ('(x) .
Concevons, par exemple, que l’on égale successivement f(fl?) aux deux fonctions
Ax , L(cc) ,
A désignant un nombre supérieur à l’unité, et L(a?) un logarithme pris dans le système dont la base est A. Comme les dérivées de ces deux fonctions, savoir,
deviendront, la première infinie, et la seconde nulle, pour des valeurs infiniment grandes de la variable x, on tirera de la formule (10) , en faisant converger x vers la limite 30 ,
Ax . . .. 1(æ)
(il) lim - = », (12) 1101-^ = 0.
Il résulte des formules (u) et (12), i.° que, dans le cas ou l'on suppose A > 1 , l'exponentielle Ax finit par croître beaucoup plus rapidement que la variable x ; 2.0 que les logarithmes des nombres , dans un système dont la base surpasse limité, croissent moins rapidement que les nombres eux-mêmes.
Si les fonctions dérivées f'(a?) ,1€F'(£c) devenaient l’une et l’autre infinies , la valeur
particulière du rapport
se présenterait h son tour sous la forme
coïnciderait, en vertu du 3.* théorème, avec la valeur correspondante du rapport
dont les deux termes sont les dérivées du premier ordre de f'(aî) et de F'(a;). Si les fonctions f a(x) , F"(a;) devenaient elles-mêmes infinies, on serait obligé de recourir 5 la fraction
etc..,. En continuant ainsi, on déduira sans peine du 3.® théorème la proposition suivante.
4.* Théorème. Lorque les fonctions (4) deviennent toutes infinies pour la valeur particulière x = x„ , la valeur correspondante du rapport
coïncide avec celle du rapport
fC'O(x)
FW(x) ’
Exemple. Soit a une constante positive , et » le nombre entier immédiatement supérieur à cette constante. En vertu du théorème , on aura , pour x = «o .
__ — xn-*e,
ou , ce qui revient au même ,
(.3) xU~‘ = o.
Les théorèmes ci-dessus établis servent à fixer les valeurs des fractions qui se présentent sous l’une des formes ^ ou -Üf-. Il est essentiel d’ajouter qu’on en déduira sans peine les valeurs des fonctions d'une seule variable qui se présenteraient sousj’unc des formes indéterminées
co
oXdtoo, o°, oo°, î , etc....
Ainsi, en particulier, si l’on désigne par y et s deux fonctions de * qui deviennent, pour * = , la première nulle , la seconde infinie , la valeur de la fonction
correspondante à x = x0 , prendra la forme oX±«; avec celles des rapports
et coïncidera évidemment
,,ui pourront être déterminées h l'aide des théorèmes a. 3 ou 4. attendu qu’elles se présenteront sous les formes ± et ■§=- • Ou aura , par exemple , pour . = - . en vertu du théorème i.*r.
et pour x — o , en
vertu du théorème 5 ,
x«l(a!) = iM =-
a étant une constante positive. De même , si les fonctions j et î sont telles que l’on ait, pour x = æ0 ,
ou bien
ou bien encore
la valeur de
correspondante à x = x„ , se présentera sous l’une des formes indéterminées
