Équation générale des points situés sur une droite
Supposons que la droite soit définie par deux de ses points A et A', ayant respectivement pour équations
P = au -+- bv -i- cw = 0,
Nous allons démontrer que Téquation générale des points situés sur cette droite est
XP -h i^P' = 0, (5)
À et [X désignant des nombres quelconques.
Remarquons en premier lieu que quels que soient X et \i^ Téquation (5) représente un point situé sur la droite AA'. En effet, les coordonnées de cette droite annulant F et F', annulent XF -i- H^F', et par suite vérifient Téquation (5).
En second lieu, il faut établir qu'on peut disposer de X et de [j. en sorte que Téquation représente un point arbitrairement choisi sur la droite AA'.
Soit M un point quelconque de cette droite ; menons par le point M une droite ayant pour coordonnées iti, Vi, ii\, et déterminons X et H^ en sorte que l'équation (5) soit satisfaite par ces coordonnées ; on aura
xp,+ |jlp;=:0,
Pi et P^ désignant respectivement ce que deviennent P et P'
quand on y remplace w, v, lo par Wi, Ui, ii\. On déduit de cette
relation
X = P{, f^--Pi,
et en transportant dans l'équation (^5), on a
Pi'P— PiP' = 0,
équation qui représente un point situé sur la droite AA' et sur la droite u^.v^.Wx. Ce point est donc le point M, et la proposition est établie.
18. A l'aide des considérations qui précèdent, on peut obtenir
d'une autre manière la condition pour que trois points soient
en ligne droite.
Désignons par
P = au -H bv -^civ = 0,
P' =z a'u -t- b'v 4- c'iv = 0,
les équations des trois points A, A', A".
Si le point A" est sur la droite AA', son équation peut
s'écrire
XP-+-H^P' = 0;
cette équation représentant le même point que l'équation P" = 0, leurs coefficients devront être proportionnels et on
aura
XP 4- jjlP' = — vP"
ou
XP-|-îaP'-hvP" = 0.
Réciproquement, s'il existe trois nombres 1, [ji, v tels que cette identité ait lieu, les trois points A, A', A" sont en ligne droite. On tire en effet de cette identité
— vP'= ).P-i-,aP',
ce qui prouve que le point A" est sur la droite AA'.
On peut donc dire que la condition nécessaire et suffisante pour que les trois points soient en ligne droite^ est qu'il existe trois nombres À, [j-, v différents de zéro en sorte quon ait r identité
XP J;J,P'|VP" = 0.
En développant cette identité, c'est-à-dire en écrivant que les coefficients de w, r, lu sont nuls, on a Xa + [xa' -\- va" = 0, \b^ixb'-{~vb" = 0, le -h ixc' H- vc" = 0,
d'où l'on déduit que le déterminant considéré au numéro 10 est nul.
19. Exercice. — On donne deux droites, trois points A, A', A" sur Vune de ces droites et trois points B^ B', B" sur Vautre. Les droites A'B" et A"B' se coupent au point C, A"B et AB" au point C, AB' et A'B au point C". Démontrer que les points C, C, C" sont en ligne droite.
Prenons la droite AA'A" pour axe des x et la droite BB'B" pour axe des ?/; désignons par a, a', a" et &, h\ b" les abscisses et ordonnées de ces six points.
1 1 La droite A'B" a pour coordonnées — ' tv et — 1; A"B' a
pour coordonnées donc s'écrire (10)
— '77 et a b
— 1. L'équation du point C peut
