Signe du premier membre de l'équation d'un point. — Le
premier membre au-^bv-^cw de Téquation d'un point s'annule pour les coordonnées d'une droite qui passe par ce point, mais il prend une valeur différente de zéro quand on y remplace w, v, iv par les coordonnées d'une droite ne passant pas par le point. Nous nous proposons d'étudier le signe de cette valeur quand la droite se déplace dans le plan.
Une droite étant tracée, ses coordonnées ne sont déterminées qu'à un facteur près, de sorte que le signe de au-\-bv-]-cw ne dépend pas de la position de la droite dans le plan, puisqu'en multipliant les coordonnées par un nombre convenable, l'expression considérée peut prendre le signe que l'on veut, la droite restant la même. En conséquence, pour qu'à une position de la droite on puisse faire correspondre sans ambiguïté un signe déterminé pour au -^ bv -\- cii\ il est nécessaire de lixer à l'avance le signe d'une des coordonnées w, V, ic.
Menons par le point considéré A (supposé à distance finie) une parallèle à Oy, et soient ky^ la portion de cette parallèle dirigée vers les y positifs et ky[ la portion dirigée vers les y négatifs.
Soit maintenant une droite quelconque A ayant pour coordonnées w, V, IV \ elle rencontre la droite yy]j\ en un point B qui a pour ordonnée
nu -h cm
prenons la différence des ordonnées des points B et A ; on a
b au -f- cw b nu -\- hv
cw
c cv c cv
Dés lors, suivant que Tordonnée du point B est supérieure ou inférieure à celle du point A, le produit {au -h bv-{- civ)cv sera négatif ou positif.
On est donc conduit à la conclusion suivante :
En supposant u ^ 0^ V expression au-\-bv-\- ciu a même signe que cv si la droite (w, v, iv) rencontre la parallèle à Oy menée par le point A en un point situé sur la demi-droite ky\ ; cette expression a le signe de — cv si la droite (w, v, w) rencontre la parallèle sur la demi-droite Ayi.
Dans le cas où. u = 0, c'est-à-dire où la droite est parallèle à 0?/, on mènera par le point A une parallèle à Ox et on aura des conclusions analogues.
