CHAPITRE m POSITION D'UNE COURBE PAR RAPPORT A SES TANGENTES

59. Pour étudier la position d'une courbe par rapport à Tune de ses tangentes, on peut transporter l'origine des coordonnées en un point de cette droite, ce qui revient à supposer que cette tangente passe par l'origine.

Soit

l'équation de la courbe supposée de classe m, les fonctions o étant homogènes et de degré indiqué par l'indice.

Les coordonnées des tangentes menées par l'origine vérifient les équations

La fonction cp,„(M, v) est décomposable en un produit de m facteurs linéaires de la forme au -+- pu, et à tout facteur de ce genre correspond une tangente à la courbe passant par l'origine ; les paramètres directeurs de cette tangente sont a et p, et ses coordonnées sont — p, a, 0.

On peut reconnaître très aisément l'ordre de multiplicité de cette tangente.

On a en effet

fû = ?L(w, v) -\- ivo',,i{u, v)-{

u u fv — o'h(W, u) -h ?^'«>'»i{w, u) H '

flv = ^m-\[u, v) 4- 2/6"^,„2(w, u) H

Pour que la tangente soit simple, il faut que fi, f[., fl ne soient pas nulles en même temps pour les coordonnées de cette tangente. Comme lo est nul, il suffit de considérer les premiers termes Om{u, v), cp,yw, v), cp,„i(w, v) des trois dérivées.

Si le facteur la-hv'^ est facteur simple de ç,»(m, f), les deux dérivées o,[^ et ©,» ne sont pas nulles en môme temps, la

tangente est simple.

Si le facteur ux-i-v^ est facteur multiple de o^, la tangente ne sera simple que si cp,„i(w, v) n'est pas divisible par ce facteur.

L'équation du point de contact sera

Ucp„',(w, v) -i- Vcp^(w, v) -h Wcp„i i(w, v) = 0,

OÙ Ton remplace u par — ^ et î; par a.

60. Supposons d'abord que le point de contact soit à distance finie, c'est-à-dire que le coefficient de W soit différent de zéro. On pourra alors transporter l'origine en ce point (formule [5] du numéro 34) ; nous pouvons supposer que ce calcul a été préalablement fait ; alors, parmi les tangentes issues de l'origine à la courbe, il y en a au moins deux qui sont confondues avec la tangente considérée; par conséquent ^„,(m, v) doit admettre au moins deux fois le facteur «a + vp (i).

Nous allons étudier la position d'une tangente infiniment voisine de la droite D, et pour cela il sera commode de ne conserver que deux coordonnées.

Supposons que la droite D ne soit pas confondue avec 0?/, c'est-à-dire ol^O. On pourra supposer que v conserve une valeur constante, nous poserons v = — 1, de telle sorte que u désignera le coefficient angulaire et iv l'ordonnée à l'origine.

Posons — = Ui

et ?/(w, — 1) = ^/(w).

(1) On peut remarquer aussi que dans Téquation du point de contact les coefficients de U et de V doivent être nuls.

POSITION d'une courbe 63

L'équation peut alors s'écrire

et, d'après l'hypothèse qui précède, ^m{u) est divisible par {u — UiY, ce qui donne

'^miu) = g[u{u — u,f g{uy) ^ 0.

Quand îv est infiniment petit, l'équation est vérifiée par deux valeurs infiniment petites de u — Wi ; on a aisément leurs parties principales en appliquant la méthode de Puiseux :

U — Ui = ±l\J.

On ne peut donner à w que des valeurs du signe de

Si on suppose "'~ / >> 0, nous donnerons à lu des

valeurs négatives et on aura pour u — u^ des valeurs positives et négatives, ce qui revient à dire que les tangentes voisines auront des ordonnées à l'origine négatives et leurs coefficients angulaires, l'un supérieur, l'autre inférieur à iii.