Déterminons maintenant les points
de contact de ces tangentes. Nous allons
établir que tout point de contact d'une tangente infiniment
voisine est toujours au-dessus de la droite D si iv est négatif,
et au-dessous si lu est positif.
Remarquons d'abord que u — u^ est toujours, par rapport à w, d'ordre infinitésimal inférieur à l'unité.
Car si on cherche les coordonnées du point de rencontre de la droite D et de la tangente voisine, c'est-à-dire si on résout les deux équations
y — wi3? = 0 ,
y — iix — IV = 0,
on trouve
lOUi
U Ui
et comme x et y ont pour limite zéro, il faut que lu soit d'ordre infinitésimal supérieur à u — u^. On aura donc pour une tangente voisine
u — ui = Awi'[i H- s),
£ étant un infiniment petit et p <; 1.
Or Téquation du point de contact de cette tangente voisine
peut s'écrire
les coordonnées de ce point sont donc
on en déduit
?/o — UiX^ = IV —
En négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, on a
u — 1^1 — kic''\
par suite
.Cette expression est de signe contraire à w, puisque p est
plus petit que 1 ; c'est le résultat que nous avions annoncé et qui nous servira dans toute la discussion.
Alors dans le cas particulier qui nous occupe, où l'on a
et en supposant >0,
POSITION D UNE COURBE
on aura les deux tangentes infiniment voisines de la droite D, AB et AC, et les points de contact seront situés au-dessus de la droite D.
On obtient ainsi la position de la courbe par rapport à la tangente.
62. Il peut arriver maintenant que <|^,„(w) contienne plus de deux fois le facteur {ii — Wj). Supposons par exemple que
^,n{u) = {u — u^fg[u).
On trouvera aisémentpour les tangentes infiniment voisines
u — iii = Y -
et si
u — Ui sera de signe contraire à îi\ et on aura la forme de courbe cicontre ; Torigine est un point de rebroussement, et parmi les tangentes issues de ce pointa la courbe, il y en a trois confondues avec la droite D.
Plus généralement, si
^m{u) = [u — u,Yg{u),
^(Wi)7^0,
on peut mener de Torigine p tangentes confondues avec la droite D ; on aura pour les tangentes voisines
«Vm-l(Wl)
lU.
Si p est pair, la courbe présentera la même forme que dans la figure du numéro 61 ; si p est impair, on aura un point de rebroussement comme dans la figure précédente.
Nous avons ainsi la position de la courbe par rapport à une tangente simple dans tous les cas possibles, quand le point de contact est à distance finie.
COORDONNEES, — II
63. Considérons, comme exercice, la cissoïde qui a pour équation tangentielle (42)
^au + lo)^ H- 21aHhc = 0.
En ordonnant par rapport aux puissances croissantes de w^ l'équation peut s'écrire
a^u^ H- a^w ï^ «^ + 3wM -+- ^awhi -\-ic^ = 0.
Quand w tend vers zéro, trois valeurs de u tendent vers zéro, l'axe Ox est une tangente simple et compte pour trois parmi les tangentes issues de l'origine; on aura pour les tangentes infiniment voisines, en faisant v = — 1 ,
te est de signe contraire à w.
64. Supposons maintenant que le point de contact soit k rinfini; il faut pour cela que cp',„(M, v) et o'„,{u, v) ne soient
pas nuls en même temps et que o,„i(i/, v) soit nul.
Ceci revient à dire que u — Wi est facteur simple de ^rn{u) et divise ^m-i(w).
Posons
4^m(w) = {u — u,)g[u) , g[uC) ^ 0.
On aura Téquation
avec la condition '^m-\{u\) = 0.
Supposons d'abord ']^m-2(wi) ^f: 0;
dans ce cas u — Wi est infiniment petit du deuxième ordre, et sa partie principale est donnée par la règle de Puiseux,
'}m-2(Wl)
ce qui montre que u — Wi a un signe constant. Pour la détermination du point de contact, on se reportera au numéro 61.
Quand le point de contact de la tangente D est à l'infini,
POSITION D UNE COURBE
u — Ml est d'ordre infinitésimal supérieur à iv, alors p est plus grand que 1 et l'on voit que y^ — u^x^ a le signe de lo. On aura alors sans peine la forme de la courbe.
Supposons par exemple — >*0; u — u^ seranega-
tif quel que soit w;, et on aura la forme de courbe représentée par la figure ci -contre.
65. Il peut arriver que le coefficient de iv^ soit nul pour w — Wi. Si le coefficient de lo^ est différent de zéro, u — u^ sera infiniment petit du troisième ordre, et on aura
