IV

et en supposant

— ; — r- > 0, on ob-

tiendra la disposition ci-contre.

C'est le point de rebroussement à l'infini.

D'une manière générale, si on suppose

U — Wi sera infiniment petit d'ordre p ; on aura

u Ml =

^(Wl)

WP.

COORDONNEES TANGENTIELLES. GEOMETRIE PLANE

Si p est pair, on aura la forme indiquée sur ravant-dernière figure. Si p est impair, on se reportera à la dernière figure.

66. Considérons, comme exemple, l'écjuation tangentielle de l'hyperbole rapportée à ses axes,

ahi^ — h'V^ — 10^ = 0 ; en y faisant v zn — 1, on a

aHi^ — &2 1^2 — 0,

ce qui donne les deux asymptotes passant par l'origine qui ont pour coefficients angulaires zb — •

De l'équation on tire

et, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur,

lah'

donc

u sera positif pour les

tangentes voisines, ce qui donne la position de la courbe représentée par la figure ci-contre.

67. Supposons maintenant que la tangente D soit une tangente double; fû, fl et f,l doivent être nulles pour les coordonnées de cette droite. En se reportant aux expressions de ces dérivées données au numéro 59, on voit que o' ( w, u), o' (w, v)

et o,n i

w, y) doivent être nuls, ce qui exige que o,,,[u, v) soit divisible par [u^^^vpY et o,„,(w, u) par wa On a aussi

ta* =

fuv = ?1(W, v) uv

wo" (u, v)-

POSITION d'une courbe 69

et ces six dérivées ne doivent pas être nulles en même temps. L'équation de l'ensemble des points de contact est

Ui UV 1* U

H-2V\Vcp;^^^(M,t;) 4-2W2'f„,2Ki;) ==0.

Supposons que Tun des points de contact soit à distance finie ; on pourra alors y transporter Torigine, et les coefficients de U^ UV, V^ dans cette dernière équation seront nuls ; par conséquent o„,{u, v) admettra trois fois le facteur t/a-f- v'^.

En reprenant les notations du numéro 60, Téquation pourra s'écrire

{u — UiYg{u) -\- îv{u — ui)gi{u) -+- z^^<l^,„2(w) -I- . . . = 0 ;

pour séparer les trois valeurs infiniment petites de w — Wi, nous construirons le polygone de Newton en supposant d'abord

g{u,) :^ 0, g,{u,) ^ 0, J.„,,(i/0 :^ 0. Deux cotes sont à considérer.

Nous poserons d'abord

u Ui = zw ^ ,

et, en remplaçant dans l'équation, on aura pour déterminer s, g{u,)z^-i-g,{u;] =0;

U-Uj

on obtient ainsi

U — Ui = ±\J-

w ne peut avoir qu'un signe déterminé, on retrouve alors la forme représentée par la figure du numéro 61. Pour l'autre coté du polygone on posera

u — Ml = ZW]

mais alors, u — Ux et tv étant infiniment petits de même ordre, le point limite d'intersection de cette droite et de la tangente D a une position différente de l'origine ; nous obtenons le deuxième point de contact, qu'on peut étudier directement en transportant l'origine en ce point.

Il peut arriver que o,„(w, v) admette plus de trois fois le facteur wa-i-rP; nous aurons à l'origine un point de rebroussement si Texposant du facteur est pair, et un point sans particularité géométrique si l'exposant est impair, comme on l'a vu aux numéros 61 et 62.

En résumé, dans le cas où les deux points de contact sont réels, distincts et à distance finie, on peut obtenir les figures suivantes :

68. Considérons comme exemple la courbe enveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémités décrivent deux droites rectangulaires. L'équation tangentielle de cette courbe est

a^u^v- — io2(m2 -\-v-^) =z 0.

On voit que Taxe des x est tangente double, et que les deux points de contact ont pour abscisses zt a.

Transportons Torigine en l'un de ces points, celui qui a pour abscisse a par exemple ; l'équation devient

ahiH^ — {w — «M)2(tf2 4- v2) =: 0 ou — «^w* 4- 2auic[u^ 4- r^) — w^{u^ + v-)

ou en faisant v =z — 1 et changeant les signes,

aHt* — 2auw{u^ H- 1) + lo^u^ + 1) = 0.

Quand w tend vers zéro, quatre valeurs de u sont infiniment petites ; donc par l'origine on peut mener quatre tangentes confondues avec l'axe Ox.

Pour séparer les valeurs infiniment petites de w, je construis le polygone de Newton, dont le premier coté me donne trois valeurs

de u d'ordre — ; en posant

POSITION d'une courbe 71

on a

d'où

On voit que u a sans cesse le signe de w^ ce qui donne la forme ci-contre.

69. Si <|^m-2(wi) était nul, le deuxième point de contact serait à Tinfini ; on Tétudierait comme plus haut (numéros 64 et 65).

Si ^i(wi) est nul, 4^^-2(^*1) étant différent de zéro, cp^i(î/, u) contient deux fois le facteur wa-i-v^, l'équation de l'ensemble des points de contact se réduit à

ces points sont confondus à l'origine. Nous allons étudier la position de la courbe.

L'équation pourra s'écrire

(w — u^Yg{ii) -+- w{u — u^fg^iu) -f- w^rnAu) H =0,

^i(m) n'ayant plus la môme signification que plus haut. En supposant d'abord g[u^) différent de zéro, on a un seul côté dans le polygone de Newton , u — Wi est infiniment petit d'ordre

— 5 et en posant

^"^* U Ml = ZW^ ,

z est déterminé par l'équation d'où

On voit ainsi que u — u^ a un signe constant quel que soit 2v.

Si on suppose

u — Ui sera positif, et on aura la forme indiquée par la figure ; Torigine est un point d'inflexion.

70. Supposons maintenant g{u^) = 0 et ^i(m,)7^0; Téquation s'écrit

{u — Wi)S(m) + iv{u — u^Ygy{u)

Nous poserons alors

u Wi

zw^

et z sera déterminé par l'équation

z*cp(wi) -+- z^g,[Ui) -h •]^,„2(wi) = 0. Posons z^ = t\ l'équation devient

Si cette équation a ses racines imaginaires, les tangentes voisines de la droite D sont imaginaires, il en est de même des points de contact.

Si cette équation a ses racines réelles et distinctes, soient tx et ^2, les valeurs infiniment petites de u — Wi seront données par

u — Wi = it: y/^

et l'on a les figures ci-dessus selon les signes de ^ et de t^.

POSITION D UNE COURBE

71. S'il arrive que réquation du second degré en t ait ses racines égales, il faut pousser plus loin la séparation des valeurs infiniment petites de u — Ui.

Posons M = Wi -I- 6 ; Téquation prend alors la forme e*cp(wi H- 6) + io%^g,{u, -4- 6) -+- w;2^,„2(wi + G) + • • • = 0, qu'on peut écrire

?(Wl)