IC
ecf'(i/i)
H- e^i(wi)
4'm-2(Wl)
ou encore
?(wi)(e2~a?f;)='4-oY(o)-+-i<;eYi(o) + z^20^2(e) + ?^Y3(B) + --- = o,
/(^)> A(^)i /2(^)» A(^) représentant des polynômes entiers en 6 ayant un terme indépendant, et a désignant la racine double de l'équation en t.
Supposons a > 0 ; on ne pourra donner à iv que des valeurs positives, et pour éviter les exposants fractionnaires nous poserons
e sera alors du premier ordre par rapport à w' ; en désignant par zio' sa partie principale, on aura, après avoir divisé par w/*,
o(m,)(z2 — a'2)2 H- zho'f(zw') -i- z^w'f,[ziv') 4- zw'f\[ziv')
^iv'^f,{zio')-^-- =0, équation de la forme
(22 a'2)2 + zz(;'[ Az* -h Bz2 + C] 4- io^'g (z) H- • • • = 0 .
Si l'on suppose
M = Aa'*-+-Ba'2 4-G7f:0,
les valeurs de z se séparent immédiatement :
(z-ha')2
OU, en remplaçant z par sa valeur — ,
iv'
6 =r li — W, rrr lo'\— a' dz \J -\- —, uA •
Si — >> 0, on ne pourra donner à lo' que des valeurs
négatives dans la première expression, et des valeurs positives dans la deuxième, de sorte que a' étant positif, les deux valeurs réelles de 6 seront négatives, et iv est toujours positif. On aura donc la forme de courbe représentée par la figure ci-contre ; on dit que l'origine est un point de rebroussement de seconde espèce.
Pour continuer la discussion, il faudrait examiner le cas où M = 0, puis ensuite supposer que le premier terme de l'équation écrite au début du numéro 70,
contient plus de quatre fois le facteur u — w,, et ainsi de suite.
On étudiera de la même manière le cas de la tangente triple, quadruple, etc. ; la méthode est toujours la même; elle consiste à développer u — xi^ en série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de w.
72. Dans tout ce qui précède nous avons supposé que la tangente n'était pas parallèle à Oy ; dans le cas contraire, en transportant l'origine en un point de cette tangente, elle se confond avec Oij ; pour étudier la position des tangentes voisines, on supposera w = 1 et on développera v en série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de iv.
