IV PRÉFACE

Le fait que tout théorème peut être transformé ainsi a reçu de Ghasles le nom de Principe de dualité ^^) .

Voici, sur l'origine et le développement de ces idées, quelques renseignements historiques empruntés en majeure partie à V Aperçu historique de Giiasles.

De Beaune semble avoir eu le premier l'idée de définir certaines courbes à l'aide des propriétés de leurs tangentes ; par une question de cette nature posée à Desgartes, il donna naissance à la Méthode iiiverse des tangentes^ dont Desgartes jeta les fondements en regardant un point d'une courbe comme l'intersection de deux tangentes infiniment voisines.

La théorie des développées, due à Huygens, fournit ensuite des exemples particulièrement importants de courbes regardées comme enveloppées par des droites.

Mais on peut dire qu'EuLER, en considérant une courbe quelconque comme enveloppe d'une droite de la forme

a?COS a + ysin a = cp(a),

donna le premier exemple d'une courbe définie dans un système de coordonnées tangentielles ; ce système, dans lequel les éléments de longueur et les rayons de courbure de la courbe et de ses développées successives ont des expressions particulièrement simples, se trouve indiqué à la page 58 de ce volume.

Les coordonnées de la droite sous la forme actuellement employée ont été introduites à peu près à la même époque, par Ghasles {Aperçu historique, 1837, et

(1) Mémoire de géométrie^ sur deux principes généraux de la science, la dualité et l'homographie, présenté à rAcadémie de Bruxelles en

PKEFACi:

Mémoire de Géométrie, 1849) et par Plugker {Journal de Crelie, tome Y, 1829).

Quant aux méthodes de tranformation qui ont conduit au principe de dualité, elles ont d'abord été employées sur la sphère. D'après un théorème dû à Snellius, vers 1630, toute figure sphérique possède une figure supplémentaire, de telle nature qu'à chaque point de la première corresponde un arc de grand cercle de la deuxième et inversement.

En 1685, La Hire, dans son Traité des Coniques^ indiqua les propriétés réciproques des points et droites ► qu'on nomme actuellement pôles et polaires par rapport à une conique. Ces propriétés ont été étendues par MoNGE aux surfaces du second ordre, et c'est de l'époque de Monge seulement que datent l'importance et les usages de cette théorie des pôles et polaires (^)-

Une des premières et des plus célèbres applications fut celle qui permit à Brianghon de déduire, du théorème de Pascal sur six points d'une conique, une propriété correspondante de six tangentes (1806).,

Le principe de dualité dans sa généralité a d'abord été énoncé par Poncelet {Annales de Mathématiques^ tome Vin, 1817-1818), qui l'a déduit de la théorie des pôles et polaires ; ce principe a été ensuite établi, indépendamment des coniques, par Gergonne, par MoBius [Barycentrischer Calcul^ 1827) et par Ghasles.

L'ouvrage de M. Papetier a pour objet le développement de la géométrie tangentielle depuis les pre-

(1) Aperçu historique, p. 124.