Tangentes par un point extérieur. — Soient
réquation tangentielle d'une courbe C, et a, p les coordonnées d'un point A.
Les coordonnées des tangentes menées à la courbe par le point satisfont, comme nous l'avons déjà vu, aux deux équations
f{u, V, îv) = 0,
iix -\- v^^ -h w = 0 .
Le nombre de ces tangentes est égal à la classe delà courbe. En éliminant iv entre ces deux équations, on aune équation homogène en u et v,
f[u, V, — (uoc -+- v^)] = 0,
qui détermine les directions de ces tangentes.
En y faisant u = m, v = — 1, on aura l'équation aux coefficients angulaires de ces tangentes,
f{m, —1, i^ — mx)=0.
On peut d'ailleurs obtenir cette équation plus rapidement en écrivant qu'une droite quelconque passant par le point A,
y — ? = i^{x — *), est tangente.
75. Appliquons ce résultat au cas où la courbe est de deuxième classe,
/"(m, î; , 2v) = au^ -\- a'v^ -h d'id^ + ^bviv -h ^b'icu -h Wuv = 0 ;
on aura pour l'équation aux coefficients angulaires des tangentes issues du point (a, |i)
am'-^a' -h a"(13 — maf— 26(? -ma)-h26'7?i(P — m7.) — '^b"m = 0
ou
7n2(a"a2— 2^'a4-a— 2w(a"ap— 26:c— 26'P-f-^")4-a"P'— 2ô?+^'=0.
Si réquation représente une ellipse rapportée à ses axes,
ou une parabole rapportée à son axe et à sa tangente au
sommet ,
f{ii^ v^ w) = pv^ — ^uw —- 0,
les coefficients angulaires des tangentes menées par le point A seront donnés respectivement par les équations
a^rn^-^b'^ — {?>—may = 0, et
p — 2m(p — ma) = 0.
76. On peut par le même procédé obtenir l'équation de l'ensemble de ces tangentes. Soit (a?, y) un point d'une de ces tangentes ; comme elle passe par le point (a, p), son équation sera
et tout revient à écrire que cette droite est tangente, c'est-àdire que ses coordonnées satisfont à l'équation tangentielle de la courbe.
Il suffit de remplacer dans l'équation aux coefficients angu-
1 aires m par
