Tangentes parallèles à une direction donnée. — Soit m le

coefficient angulaire de la direction donnée. Les coordonnées

des tangentes parallèles à cette direction seront données par

les équations

u-{-vm ^= 0.

Si Ton veut les ordonnées à l'origine de ces tangentes, on

écrira que la droite

y = mx -\- X

est tangente, ce qui donne

équation en X qui détermine les ordonnées à l'origine.

En y remplaçant X par tj — mx, on aura l'équation de l'ensemble de ces tangentes.

Les équations bien connues

y =. mx zb \/a-m'--{- 0^,

y = mx -+- -— ,

relatives à l'ellipse et à la parabole, sont des cas particuliers de cette équation.

80. On obtiendra de la même manière que plus haut (77 l'équation de l'ensemble des points de contact ; il suffira d'éliminer w', v\ w' entre les équations

f[u\ v', iv') = G, u' -4- v'm = 0, yfû' -1- vfi' 4- îVfr',' = 0.

Dans le cas où la courbe est de deuxième classe, la dernière s'écrit

et le résultat de Félimination peut s'écrire

fimfL, -A, f!.-mn) = 0.

81. Remarque. — En annulant le coefficient de iv"^^ on aura r équation aux coefficients angulaires des directions asymptotiques.

82. La recherche des tangentes parallèles à une direction donnée se déduit sans difficulté de la recherche des tangentes menées par un point (a, p). Il suffît de supposer que le point s'éloigne à Tinfini dans la direction donnée ; à cet efTet on

remplace a et p par - et -, on chasse le dénominateur

Y et on fait ensuite y = 0. Dans l'équation qui en résulte

a, p désignent les paramètres directeurs de la direction. Si m

est son coefficient angulaire, il suffit de remplacer a par 1 et

p par m.

83. Intersection d'une courbe et d'une droite. — Considérons une courbe G ayant pour équation tangentielle

et une droite D ayant pour coordonnées u^, v^, n\.

Nous nous proposons de déterminer l'équation tangentielle des points de rencontre de la courbe et de la droite.

11 nous faut pour cela chercher la condition pour qu'une droite A(w, v, lo) passe par l'un de ces points ; ce qui revient à écrire que le point de rencontre M des deux droites D et A est sur la courbe, ou encore que par ce point on peut mener deux tangentes confondues à la courbe.

Une droite quelconque passant par le point M a pour coordonnées Xm+hiWo, \v-\-\i.VQ, ^w-^\i.WQ\ cette droite sera tangente à la courbe si l'on a

f{\u + [i.Mo, /y -4- [^Vo, >^w' -H \i.n\) = 0, et il faut écrire que cette équation a une racine double en -.

Dans le cas où la courbe est de seconde classe, l'équation

qui précède est du second degré ; elle peut s'écrire et pour qu'elle ait ses racines égales, on doit avoir

On a ainsi l'équation des points de rencontre de la droite et de la courbe.

On peut dire aussi que cette relation exprime que les deux droites (i^^, u^, iv,) et (w, v, lo) se coupent sur la conique.

84. Cherchons la condition pour que les deux points de i^encontre de la droite (w^, v,, lOç^) et de la conique soient réels.

Soit f{u, V, iv) =z au^ 4- a'v^ -h a"iv^ H- ^bvw-^^b'wu + Wuv = 0

l'équation de la conique ; l'équation de l'ensemble des points de rencontre de cette courbe et de la droite (i^g, v^, w,) peut s'écrire

Cette équation représentera deux points réels si Ton a (25)

On voit que /"(w^, v,^ ii\) est en facteur, et la condition devient

ou, en divisant par u\^

^f{u,, V,, Wq) < 0,

A désignant le discriminant de la fonction f{u, v, w).

Nous obtenons ainsi la signification géométrique du signe du premier membre de l'équation tangentielle d'une conique.

Si f{itQ^ Vq, îv^j) est nul, la droite (wq, Vq , iv,) est tangente à la conique.

Si /"(wy, Up, iVq) est de signe contraire à A, cette droite rencontre la conique en deux points réels.

Enfin, si /"(t^o, Vq, îVq) a le signe de a, la droite rencontre la conique en deux points imaginaires.

85. Si la droite donnée est à Tinfini, c'est-à-dire si Wq = Vg — 0, l'équation aux points de rencontre représentera les points à l'infini de la courbe, elle sera homogène en u et V, elle détermine les directions asymptotiques. En y faisant u=m et u = — 1, on aura l'équation aux coefficients angulaires de ces directions.

Examinons seulement le cas où f{u, u, iv) est du deuxième degré. Supposons

/"(w, v^ iv) = av} -\- a'v^ -t- aV -\- ^bvw -h 'ib'wu -+- ^b"uv = 0;

l'équation des points de rencontre avec la droite wo, fg, ic^ est

faisons u^ = v^ = 0 et w'(, = 1 ; il vient

fn^ — Af[u, V, iv)a" = 0 ou

ou, en développant,

(b'2 aa"}u^-\-2uv{bb' — a"b")-}-{b' — a'a"y = 0,

ou encore, en introduisant les mineurs du discriminant,

AV — ^B'muH-Au^ = 0;

l'équation aux coefficients angulaires des directions asymptotiques sera donc

qui se déduit immédiatement de l'équation ponctuelle.

86. Tangentes aux points de rencontre d'une courbe et d'une droite. — Soient toujours la courbe C qui a pour équation tangentielle

et la droite D(mo, Vq, iv^).

Je considère une tangente à la courbe dont les coordonnées

w, V, w satisfont à l'équation (1), et j'écris que son point de contact est sur la droite D ; on a ainsi

u,n-hvjl-^ivj:, = 0. (2)

Cette équation, jointe à (1), détermine les coordonnées des tangentes cherchées.

Si l'on suppose que la courbe soit algébrique et de classe m, l'équation (1) sera du m° degré, l'équation (2) de degré m — 1 ; nous aurons m[rn^ i) solutions ; le degré de la courbe est donc 7n{î?i — 1).

Cette conclusion est en défaut si la courbe admet des tangentes multiples, car les coordonnées de ces tangentes annulant f{u, V, lu)^ fi, /*,', f[^ vérifient les équations (1) et (2) quels que soient î/q, v^, w^.

On peut établir qu'une tangente double dont les points de contact sont distincts compte pour deux solutions; si les deux points de contact sont confondus, c'est-à-dire si la tangente est d'inflexion, elle compte pour trois.

Il en résulte que le degré de la courbe est inférieur à m[m — l) si la courbe a des tangentes multiples ; si l'on désigne par t le nombre des tangentes doubles, par i le nombre des tangentes d'inflexion, et si l'on suppose que la courbe n'a pas de tangentes multiples d'ordre supérieur, le degré

sera égal à

87. Si la droite donnée est à l'infini, les équations (1) et (2)

se réduisent à

elles déterminent les coordonnées des asymptotes.

88. Dans le cas particulier où la courbe est de deuxième classe, Téquation (2) peut s'écrire

ufû -i- vn + IV f^, = 0.

Si l'on y considère w, v, iv comme des coordonnées cou-

rantes, elle représente un point, par lequel passent les tangentes menées à la conique aux points de rencontre avec la droite D ; ce point est donc le pôle de la droite D ; ses coordonnées sont fl , fi , fw .

Ainsi nous obtenons un résultat important. Si une droite D(Mo, v^^, ^v^^) est tangente à une conique d'équation

f{u, u, w) =^ 0, les coordonnées du point de contact sont fû , fl et /"/,. .

Si la droite n'est pas tangente, ces quantités sont les coordonnées homogènes du pôle de cette droite, l'équation de ce pôle pouvant s'écrire indifféremment

ou

89. Normales et Développées. — Soit {u', v\ w') une tangente à la courbe, qui a pour équation

On aura

f{u\ v', iv') = 0 ;

le point de contact a pour coordonnées /"J-, /"/', fL' ; la normale en ce point étant perpendiculaire à 'la tangente, ses coordonnées M, V, 10 satisferont aux deux équations

uu'-\-vv' — (wu'-h W) cos 6 = 0,

6 désignant Tangle des axes.

En éliminant u' , v\ w' entre ces trois équations, on aura une relation entre w, v, w;, que vérifieront les coordonnées de toutes les normales ; ce sera l'équation tangentielle de l'enveloppe des normales, c'est-à-dire de la développée.

On a donc ainsi une méthode pour obtenir l'équation tangentielle de la développée d'une courbe, connaissant l'équation tangentielle de cette courbe.

L'élimination est fort simple dans le cas où la courbe est de

deuxième classe, car les deux dernières équations sont du premier degré ; on peut alors les résoudre par rapport à w\ v\ iv'.

Ces équations s'écrivent

u'[u — V cos 6) H- v'[v — u cos G) = 0 ; on en déduit

u' y' ^ — w'fL

V — acosO — (w— -y cos 6) [v — ucos^)fû — {u — vcos^)fv ou

En transportant ces valeurs de w', v\ w' dans la relation

f{u', v\ ic') = 0, on a

f[{v — u cos ^))fi, — (u — V cos 6)/;;., (u — V cos ^)fl

— {v — ucos 6)/"^] =0.

Si les axes de coordonnées sont rectangulaires, l'équation se simplifie et devient

f[vfL, — uflo, ufi, — vf^) = 0 .

Mais il est important d'observer que ces considérations ne s'appliquent qu'aux courbes de deuxième classe.

90. L'équation trouvée est du quatrième degré, par suite la développée est de quatrième classe ; il y a cependant exception dans le cas où la conique est une parabole.

Nous verrons plus tard que dans ce cas le coefficient de w^ dans la fonction f{u, v, iv) est nul, de telle sorte que le premier membre de l'équation de la développée est divisible par f,ô. Si on égale ce facteur à zéro, on a l'équation d'un point à l'infini dans la direction de l'axe; ce résultat pouvait se voir a priori, car on sait que si une conique à centre se déforme de façon à avoir pour limite une parabole, parmi les quatre normales qu'on peut mener d'un point à cette conique, l'une

de ces normales a pour limite une parallèle à Taxe de la parabole. Il en résulte que les parallèles à Taxe d'une parabole peuvent être considérées comme des normales singulières, l'enveloppe de ces droites étant le point à Tinfîni dans la direction de Taxe.

En supprimant alors le facteur f[^, il restera une équation du troisième degré en w, v, w, qui sera Téquation tangentielle de la développée. Cette courbe est donc dans ce cas de troisième classe.