V.Vi)-i-B'(v5?i+a;o2i
Deuxième cas. — Supposons A =: 0, et l'un au moins de ses mineurs différent de zéro, soit par exemple (*)
A" = aa' — b"'^:^0.
L'équation représente deux points distincts.
On peut alors résoudre les deux premières équations du système (3) par rapport à Uq et Vq, et, en transportant ces valeurs dans la troisième équation, on obtient
ou
et comme A = 0,
Le coefficient de >; peut s'écrire
B'a;oH-Bî/o + A%
b'in. -
-Ixq
b" a' bwQ —
'^yo
IVq-
-iH
^' yo
il reste
ou
îgalé à zéro, il exprime la condition pour que le point {xq, ?/„,
(1) On peut toujours supposer que le mineur différent de zéro soit l'un des mineurs appelés principuux, A, A' ou A", car si ces trois mineurs étaient nuls ainsi que a, les trois autres mineurs seraient aussi nuls d'après les formules du n» 93.
116 COORDONiNÉES TANGENTIELLES. GÉOMÉTRIE PLANE
soit sur la droite D joignant les deux points représentés par l'équation (l).
Nous aurons donc deux cas à distinguer :
10 Le point (xq^ î/q, Zq) 7i est pas sur la droite D. Le système (3) est équivalent au système
Or
iA'„->î/o==o,
Le coefficient de >. étant diflférent de zéro, pour que la troisième équation soit satisfaite, il faut qu'on ait
les deux premières équations se réduisent alors à
elles déterminent la droite D.
En conséquence, tous les points en dehors de la droite D ont pour polaire cette droite.
2° Le point (rCy, y^, z^) est stn- la droite D.
Le coefficient de x est nul et le système (3) se réduit aux deux équations
les coordonnées de la polaire satisfont à l'équation
Si l'on y considère n^, Vq, Wq comme coordonnées courantes, cette équation représente un point situé sur la droite D, et toute droite passant par ce point est polaire du point {x^, ijq, Zq). Ce point et le point donné divisent harmoniquement les deux points représentés par l'équation (1).
Troisième cas. Supposons A = 0, et tous ses mineurs nuls. Dans ce cas f{u, v, xo) est carré parfait, et l'équation (Ij représente un point double.
L'un des coefficients a, a' ou a" est différent de zéro; supposons
On peut tirer Uq de la première équation du système {3j, et en remplaçant dans les deux autres, observant que tous les mineurs de A sont nuls, on obtient le système suivant, équivalent au système (3) :
l{b"xQ — ay^) — 0,
Les conditions
peuvent s'écrire
\{b'xQ — azQ) = 0
b"xo — ayo = 0, b'ûCo — a2o = 0
a ~ h" ~~ b' ' elles expriment que le point donné coïncide avec le point dou])le, car /"(m, V, w) étant carré parfait, sa racine est proportionnelle à une dérivée partielle, /"û, puisque a^O.
i° Supposons que Ip- 'point [ocq, î/q, Zq) ne coïncide pan avec le point double.
Pour que les deux dernières équations du système (5) soient satisfaites, il faut que >v soit nul.
La première équation devient alors
elle exprime que la polaire passe par le point double.
2° Supposons que le point (x^, y^, Sq) comcide avec le point double.
Les deux dernières équations du système (5) sont satisfaites quel que soit >^ ; la polaire est donc déterminée par l'équation {
et comme 1 est arbitraire, une droite quelconque peut satisfaire à cette équation ; la polaire du point double est donc entièrement indéterminée.
108. Tous ces résultats peuvent être résumés de la manière suivante :
1° Si réquation (1) représente une véritable conique, une droite quelconque a un pôle bien déterminé et un point quelconque a une polaire également bien déterminée.
2° Si l'équation (1) représente deux points distincts A et B,
118 COORDONNÉES TANGENÏlELLES. GÉOMÉTRIE PLANE
toute droite autre que la droite AB a un pôle situé sur la droite AB ; le pôle de la droite AB est un point quelconque du plan. Tout point en dehors de la droite AB a pour polaire la droite AB, et tout point situé sur la droite AB a une infinité de polaires assujetties simplement à passer par le conjugué harmonique du point donné par rapport à A et B.
3° Si l'équation (I) représente un point double, toute droite ne passant pas par le point double a pour pôle ce point double, et toute droite passant par le point double a pour pôle un point quelconque du plan.
Tout point autre que le point double a pour polaire une droite quelconque passant par le point double, et le point double a pour polaire une droite quelconque du plan.
109. Théorème. — Si par deux points d'une droite, on mène des tangentes à une conique, le point de concours des diagonales du quadrilatère formé par ces tangentes est le pôle de la droite.
Menons les tangentes par les points AetB; on obtient le
quadrilatère CDEF jy dont le point de
concours des diagonales est le point I ; je dis que I est le pôle de AB.
D'après les propriétés harmoniques du quadrilatère complet ABCDEF, DFest divisée harmoniquement par les points I et H, le faisceau A.HFID est harmonique ; on en conclut que AI et AH sont conjuguées par rapport à la conique et que AI passe par le pôle de AB. Pour une raison analogue, BI passe par le pôle de AB; ce pôle est donc le point I, le théorème est démontré. Si on applique le théorème aux points C et E, on voit que CE a pour pôle le point H ; de même DF a pour pôle le point K.
