biv

En écrivant que Oy a pour pôle le point A, on obtient de même

Ces conditions sont suffisantes, car si elles sont remplies AB aura pour pôle le point 0.

L'équation de la conique s'écrit alors, en remplaçant a et a' par leurs valeurs tirées des relations précédentes,

b'oii

bf,v'

^bvw ■-+- ^b'uiv = 0

ou encore

On peut dire que l'équation générale de ces coniques est

ÎV

Cw^ = 0,

A(wa-+- wY -+- B(vP

A, B et G désignant des nombres arbitraires.

Supposons maintenant que le triangle soit rapporté à des axes quelconques xOy; soient Xi, ?/, ; ^2, ^2 ; a?3, y-s les coordonnées des sommets A, B et G de ce triangle.

Si nous prenons pour nouveaux axes de coordonnées AB et AC, l'équation générale des coniques conjuguées par rapport au triangle, s'écrit

îV

a et p désignant les longueurs AB et AG.

Pour revenir aux premiers axes, nous utiliserons les formules de transformation établies au numéro 34.

Remarquons que les coordonnées du point directeur de AB

■■ont '''-~'''

et

ti tés sont ^'"

^ ~ ; pour la direction AC, ces quan-

On aura donc les formules

, u{x2 — x,) v{y2 — yi)

w' = UXi + V?/i + w.

Réduisons les deux premières équations au même dénominateur et ajoutons à chacune d'elles la troisième équation membre à membre ; on a

l/a -h w' = UX2 + Vî/2 H- li\ V'^ -h IV' = UX^ H- Vlj2 -t- ll\

iv' = nXi 4- vyi H- îv.

L'équation de la conique devient donc

A{ux2-\-vy2 -f- ivY + B(wa?3 H- ^IJi + î^)" + C{uXi -\- viji -hw)^ =0;

elle est de la forme

\i{uXi-\-vyi-[-ivY-hh{ux2-h vij2-\-ivY-h\{ux:i-\-vy3-\- ivf = 0,

ou, en désignant par Pi, Pa, P3 les premiers membres des équations des sommets du triangle donné, on voit que l'équation générale tangentielle des coniques conjuguées par rapport à ce

triangle est

XiPf + XsPI-hXaPI^O.

112. Théorème. — Si deux triangles sont conjugués par rapport à une conique, leurs six sommets sont sur une conique et leurs côtés sont tangents à une conique.

Soient x;, yi (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) les coordonnées des six sommets des triangles.

L'équation tangentielle d'une conique conjuguée par rapport au

triangle qui a pour sommets les trois premiers points est

2 '^i{U0Ci

vyi -f- loY = 0

l'équation langentielle d'une conique conjuguée par rapport au triangle formé par les trois autres points est

Écrivons que les deux équations représentent la même conique ; on obtient une identité de la forme

y] [i-î{uooi -h vyi 4- tof = 0.

On en déduit

^\iix] = 0, ^l^iVl = 0, ^iJ.!X!yi = 0,

^liixi = 0, ^ixfyi = 0, ^[^: = 0.

On a six équations homogènes à six inconnues, jjli, [JI2;..., im ; le déterminant du système doit être nul ; on a donc

ce qui prouve bien que les six points sont sur une conique.

En transformant cette propriété par polaires réciproques, on a la seconde partie du théorème.

113. Théorème réciproque. — Si deux triangles sont inscrits dans une conique, il existe une conique conjuguée par rapport à ces deux triangles.

Si le déterminant précédent est nul, il existera une relation linéaire et homogène entre les éléments de ses lignes ; on aura donc la suite d'égalités

Clyl

x-iy^

oozVi

oo,y,

oo^y

yl

yl

yl

yl

ye

^liix} = 0, ^iJ.iOC;yi = 0, ^M'h

^ix,x, = 0, ^ix,yi = 0, ^l^i = 0,

d'où l'on déduit l'identité

^lX!{l(Xi + vy; -+- lof =0,

cft qui montre que les équations tangentielles

'^ixiiuxi 4- vyi 4- io)2 = 0

représentent la même conique, qui est conjuguée par rapport aux deux triangles.

Corrélativement, si deux triangles sont circonscrits à une môme conique, il existe une conique conjuguée par rapport aux deux triangles.

EXERCICES ET NOTES

1. Triangles polaires réciproques. — On dit que deux triangles sont polaires réciproques par rapport à une conique lorsque les sommets de l'un sont les pôles des côtés de l'autre. La réciproque est vraie.

Théorème. — Les droites qui joignent les sommets correspondants de deux triangles polaires réciproques passent par un même point.

Soit f{u, V, w) = 0 l'équation tangentielle de la conique ; et soient

a ziz ax -i- a'y + a"z rr 0,

<^ = hx-{-b'y + b"z = 0, Y =: cx-^c'y ->r c"z •=. 0

les équations des côtés BC, GA, AB d'un triangle ABC ; nous allons démontrer que si l'on mène par les sommets les droites conju-

124 COORDONNÉES TANGENTIELLES . — GÉOMÉTRIE PLANK

guées des côtés opposés, les trois droites obtenues sont concourantes.

Une droite quelconque passant par le point A a pour équation ? -^1^( =z 0 ; pour qu'elle soit conjuguée du côté BG, on doit avoir

{b + lc)a -+- [h' -h \c')f'a' -j- [b" + V)/"«" = 0, d'où l'on tire, en posant pour simplifier l'écriture,

bfâ + ^7«' H- ^"/"a" = afb H- a' fi' + a" fi" =z [ah),

[ac) Nous obtenons donc la droite

p(ac)-Y(aô) = 0.

Les deux autres droites auront pour équations

Y(&a) — a(ôc)= 0, oi{ch) — ^[ca) — 0.

En additionnant on a une identité ; donc les trois droites sont concourantes.

En transformant par le principe de dualité, on obtient le théorème suivant :

Les points d'' intersection des cotes correspoîidants de deux triangles polaires réciproques sont en ligne droite.

D'ailleurs, l'un de ces deux théorèmes résulte de l'autre, d'après les propriétés de deux triangles homologiques ; on peut donc dire que deux triangles polaires réciproques sont homologiques.

2, Démontrer que, réciproquement^ deux triangles homologiques sont polaires réciproques par rapport à une conique.

3. Etant donnés deux triangles ABC, AiBiCi, parles points A,B, C on mène les droites respectivement conjuguées de BiCi, CiAi, AiBi. Si ces droites passent par un même point, les droites passant par Al, Bi, Cl et respectivement conjuguées de BC, CA, AB, .se coupent aussi en un mêîne point.

Prenant les mêmes notations que dans l'exercice 1, les trois premières droites auront pour équations

p(cai) =z y{bai),

■^{abi) =z a(c6i),

a(feci) = P(aci),

et pour que ces droites soient concourantes, il faut qu'on ait

{cai){abi){bci) = {bai){cbi){aci) ; cette relation étant symétrique par rapport aux deux triangles, le théorème est démontré. {^)

Si la conique se compose des deux points cycliques, deux droites conjuguées quelconques sont perpendiculaires ; on a alors l'énoncé suivant :

Si deux tria?igles sont tels que les perpendiculaires abaissées des sommets d>i l'un sur les côtés de Vautre soient concourantes, inversement les perpendiculaires abaissées des sommets du deuxième sur les côtés du premier sont aussi concourantes.

A. Les polaires des milieux des côtés d'un triangle jjar rapport à toute conique inscrite déterminent un triangle dont l'aire est égale à celle du triangle donné.

5. Par un point quelconque du plan, on peut mener une infinité de Couples de droites conjuguées, qui constituent deux faisceaux en involution. Trouver les points du plan pour lesquels deux droites conjuguées quelconques sont perpendiculaires. Ces points sont les foyers.

6. Si par deux points B et C conjugués par rapport à une conique, on mène deux droites qui se coupent en un point a de la courbe, la corde bc que ces deux droites interceptent .sur la conique passe par le pôle A de BC. Théorème corrélatif.

7. L'équation générale des coniques ayant pour centre le point [x, y), et pour diamètres conjugués deux droites de coefficients angulaires m et m', est

[ux -hvy-\- wY H- \{u 4- vmf + ii.[u, -f- vm'f =z 0.

Ces deux diamètres forment en effet avec la droite de l'infini un triangle conjugué par rapport à la conique

(1) Cette démonstration et celle qui précède sont dues à M. Darboux.

114. Centre. — On appelle centre d'une conique un point tel que toute droite passant par ce point rencontre la courbe en deux points symétriques par rapport à ce point.

Il résulte immédiatement de cette définition que le centre est le pôle de la droite de l'infini, et que, réciproquement, si le pôle de la droite de l'infini est à distance finie, ce point est un centre.

Soit

/"(w, V, 2v) = au^-i-a'v^~ha"w^-h2bvw-h'Èb'2Vu^2b"uv = 0 (1)

l'équation tangentielle de laconique.

L'équation du pôle d'une droite quelconque (w^, Dq. ir^) est

ou encore

Si la droite est à l'infini, Uq et u„ sont nuls, et l'équation devient

i/"/, = b'u-\-bv-i-a"w = 0.

Premier cas. a" z/z 0. La conique est une ellipse ou une hyperbole.

Le pôle est à distance finie. La courbe a donc un contre, qui

a pour coordonnées -77 et —-,, ou, si 1 on veut, pour coor-

données homogènes b' ^ b et a".

Dans le cas particulier où a est nul, Téquation (1) représente deux points, le centre est le milieu de ces deux points.

Deuxième cas. d' = 0. La conique est une parabole. Le pôle de la droite de l'infini est à l'infini, ce qu'on pouvait prévoir, puisque la courbe est tangente à cette droite. La parabole n'a donc pas de centre.

Le point où la courbe touche la droite do l'infini a pour coordonnées homogènes b\ b et 0 ; la direction asymptotique a donc pour paramètres directeurs b' et b.

115. Il résulte de là que l'équation générale des coniques qui ont pour centre le point (x, y) est

2b"uv + 2xuic

lyvw

uP- — 0.

116. Théorème de Newton. — Le lieu des centres des coniques tangentes à quatre droites est une droite qui passe par les milieux des diagonales du quadrilatère formé par les quatre droites.

Soient ui.vi, la (i=l,2, 3, 4) les coordonnées des quatre droites.

L'équation d'une conique ayant pour centre le point {x, yi est réquation (2) ; la conique étant tangente aux quatre droites données, on aura Jes relations

au^^ -+- av\ H- 2b"u^V\, + ^xu^Wi + 2yViWi + io\ =z 0,

aul 4- a'vl -f- 2b"u2V2 + 2XU2W2 -+- 2yv.2iC2 H- ic^ = 0,

au^ -+■ a'vl + 2b"UiV-i H- 2a?t(3iC3 + 2yv.^w^ -h io| =: 0,

aul H~ <^'^4 + 2b"u!,V!, -\- 2xiii,W!, + 2yv^wi^ + to| =: 0.

En éliminant a, a', h" entre ces quatre équations, on aura l'équalion du lieu.

On obtient ainsi

U\ V\ MjVi 2xUiX0i U\ V\ U2V2 2XU2102

uj vl U'iV-i 2xu-\iOi ^l vl îii^Vi, 2xUiiv.'^ équation qui représente une droite

2yv2W2 H- wl

2yv3i03 2yviici

Deux sommets opposés du quadrilatère peuvent être considérés comme formant une conique tangente aux quatre droites; il en résulte que le milieu de ces deux points fera partie du lieu.

On voit ainsi que le lieu est la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère formé par les quatre droites.

117. Exercice. — Lieu des centres des hyperboles éqiiilatères conjuguées par rapport à un triangle.

Prenons deux côtés du triangle pour axes de coordonnées ; soient a l'abscisse du point A et p l'ordonnée du point B.

L'équation générale des coniques conjuguées par rapport au triangle OAB est (111) A{Ma + io)2 + B(iJ(i 4-10)2 -H Cio2 - 0

OU, en développant, Aa2w2 { BPîj2 | ( A + B 4- C) to2 + 2Aai6io + 2B^vw = 0. (3) Divisons par A + B H- C et posons

Aa ^ JL__.

X et y désignant les coordonnées du centre. Nous obtenons alors

o^xu^ j ^yv^ 4- 2xuw À- 2yvw -\-w^ = 0,

qui est l'équation de la conique conjuguée par rapport au triangle AOB et ayant pour centre le point {x, y).

Écrivons que cette conique est une hyperbole équilatère ; nous aurons l'équation du lieu.

On doit avoir

A4-A' — 2B" cos 6 z= 0

a' a" — &2 + a" a — b'^—2 [bb' — a"b") cos 6 =: 0. Il vient dans le cas particulier considéré

^y — y^-hoLx — x^ — 2xy cos 0 = 0 ou

x^-\-y^-h 2xy cos 6 — aa; — ?j/ = 0,

équation du cercle circonscrit au triangle OAB.

118. Pour que Péquation générale (3) représente une parabole, il

faut que

L'équation générale des paraboles conjuguées par rapport au triangle

OAB sera donc

Xu ( wa 4- 2w) -^ \x.v (r p 4- 2w) = 0.

119. Diamètres. — Le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction fixe dans une conique est une droite qu'on appelle diamètre conjugué de la direction donnée.

Ce lieu peut être en effet considéré comme la polaire du point à rinfini dans la direction des cordes.

Soient a, ^ les paramètres directeurs de cette direction ; le point à l'infini dans cette direction a pour coordonnées homogènes a, p, 0. Si w, V, w sont les coordonnées de sa polaire, fû^ fv et fi sont respectivement proportionnels à a, p et 0.

On a donc