PM
Ces deux équations déterminent le diamètre conjugué delà direction a, p.
120. Les diamètres étant les polaires des points situés sur la droite de l'infini, doivent passer par le pôle de cette droite ; c'est ce que montre d'ailleurs la condition /"/„ = 0.
Il en résulte que dans l'ellipse et l'hyperbole les diamètres passent par le centre, tandis que dans la parabole, ils sont parallèles à la direction asymptotique.
121. Les relations (4) déterminent un diamètre tel que nous l'avons défini, seulement dans le cas oii le point de coordonnées a, p, 0 n'est pas situé sur la conique.
Dans le cas contraire, si ce point est situé sur la conique, les équations (4) déterminent les coordonnées de la tangente en ce point, c'est-à-dire d'une asymptote si la conique est une hyperbole, de la droite de l'infini si la conique est une parabole.
122. Diamètres conjugués. — On dit que deux diamètres sont conjugués dans une conique à centre lorsque chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre.
COORDONNÉES. — Il 0
Chacun de ces diamètres passe par le pôle de l'autre ; on peut donc les considérer comme deux droites conjuguées passant par le centre.
La relation qui lie les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués s'obtient en écrivant que les deux droites
sont conjuguées par rapport à la conique. On trouve ainsi la relation connue
k'mm' -\- B"(m -h m') -f- A = 0,
qu'on pouvait déduire de l'équation ponctuelle de la conique.
123. Prenons comme axes de coordonnées deux diamètres conjugués quelconques, et cherchons l'équation tangentielle de la conique par rapport à ces axes. Les deux axes et la droite de l'infini sont les côtés d'un triangle conjugué par rapport à la conique. Les équations des sommets du triangle étant
l'équation de la conique sera de la forme (111)
124. Axes. — On appelle axe dans une conique un diamètre perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales.
Il résulte de cette définition qu'on peut considérer un axe comme une droite dont le pôle est à l'infini dans la direction perpendiculaire à cette droite.
Soit ux H- vy + 10 = 0
l'équation d'un axe ; la direction perpendiculaire a pour paramètres directeurs u — ucosO et V — acosG; le pôle de cette droite a pour coordonnées /J, /",(, fi ; pour que ce point soit à l'infini dans la direction qui a pour paramètres
V cos 0, et V — u cos 6 il faut qu'on ait
U — V cos 0 V — u cos 6 A = 0.
Ces équations déterminent les coordonnées des axes ; la première est du second degré, la seconde du premier ; il existe donc deux axes en général.
125. Pour discuter les solutions de ces équations, on peut introduire une nouvelle inconnue S et écrire
fi
V cos
u cos
ou
/•^ = 2S(w — ucosO),
fl = 2S(u — M cos 6),
ce qui donne, en développant et en écrivant de nouveau la seconde des équations (5),
(a S)w-i-(//'-f-Scos ^)v-i-b'w = 0, \
(6"+Scos
a' — S)w 4- biv = 0, ^ 'u -+■ bv -h à'ic = 0. J
Les équations (6) sonthomogènes en w, v, w ; pour qu'elles admettent des solutions non toutes nulles, il faut que le déterminant du système soit nul. On doit donc avoir
a — S ^"-hScose b'
F(S) = 6" -h S cos 0 a' — S b =0.
Pour développer cette équation, on peut décomposer le déterminant en une somme de quatre déterminants :
a S cos 6 b'
— S ScosO b'
ScosO a' b
Scos6 —S 6
de telle sorte que Téquation peut s'écrire
F(S) = a"S2 sin^ 6 — S( A -f- A' - 2B" cos 6) -f- A = 0.
Si dans les équations (6) on remplace S par une racine de cette équation, ces équations admettront un système de solutions en w, V, IV qui seront les coordonnées d'un axe.
126. Pour que les racines de l'équation en S soient réelles^ il faut qu'on ait
(A -h A' — 2B" cos 6)2 — 4a"A sin^ 6 > 0 , et comme
a"A = kM — W\ la condition devient
(A-t-A'— 2B"cos6)2 — 4(AA'-B"2) sin^ 6 > 0.
Ordonnons par rapport à B" ; on a
4B"2 4B"( A 4- A'] cos G -h (A -h A')^ — 4AA' sin^ 6 > 0
ou
[2B" — ( A -f- A') cos e]2 -h (A — MY sin^ 6 > 0.
Cette condition est toujours remplie ; l'équation en S a donc toujours ses racines réelles.
Pour que ses racines soient égales, on doit avoir
2B" — (A + A') cos 0 = 0, ce qui donne
cos 0
On reconnaît les conditions pour que la conique soit un cercle.
127. C'est également dans ce seul cas que les équations (6) peuvent avoir leurs coefficients proportionnels et par suite admettre une infinité de solutions en w, v^ iv.
En effets pour que l'on ait
a — S 6"H-ScosO //
il faut que
cos 0
cos 0
s est alors racine double de l'équation.
On peut donc dire que si la conique n'est pas un cercle, Céquation en S a ses racines réelles et distinctes, et quà toute racine de cette équation correspond un seul système de valeurs de m, v, w donné par les équations (6).
