Il est alors aisé de discuter
Premier cas. a" z^ 0. La conique est une ellipse ou une hyperbole.
L'équation en S a deux racines Si et S2 ; à chaque racine correspond un axe.
Je vais démontrer que ces deux axes sont perpendiculaires ; soient, en effet, Wj, v^, iv^ et u^y v^, W2 les coordonnées des axes correspondant aux deux racines Si et 83. On a
fi^ = 2Si(wi — Vi cos 6), fl^ = 2S2(w2 — V2 cos 0),
/;^ = 2Si(ui — ui cos 0), fl^ = 282(^2 — U2 cos 6),
Multiplions les trois équations de gauche respectivement par W2, V2, ^t'2, puis ajoutons; multiplions de même les trois équations de droite respectivement par Wj, v^, Wi, puis ajoutons ; on a
"2/*", + "2/"/., -+- mfw^ = 2Si[wiW2 •+- U1U2 — ("1^2 4- ^^1^2) cos OJ,
UifL^ -h u/,:^ -h tvifi-^ = 2S2[wiW2 + ViVo — (i/iUa -+- v^Ui) cos 0].
Retranchons, en remarquant que les premiers membres sont égaux ; il vient
0 = 2(Si — S2)[wiW2 -+- ViV2 — {uiVo -h U1M2) cos 0],
et comme Si — Sa n'est pas nul, on doit avoir
W1W2 -+• ViVi — {U1V2 -h U2V1) COS 0 =: 0,
ce qui montre que les deux axes sont perpendiculaires.
Et en même temps on a aussi, d'après les équations précédentes,
par suite les axes sont deux droites conjuguées ; ce sont deux diamètres conjugués rectangulaires.
Deuxième cas. a" = 0. La conique est une farabole.
L'équation en S s'abaisse au premier degré, elle admet une seule racine,
A + A' — -2B" cos 6 qu'on peut encore écrire, puisque a = 0,
b' -{-b'' -h '2hb' cos ^'
Portons cette valeur de S dans la première des équations (6), remplaçons A par sa valeur —ab^ — a'b'^-^-'lbb'b"\ on obtient,
u[a[b'^-^'lbb' cos ^)-^a!b'^-{-^bb'b"]
4- V [b'\b^ + b") -h [ab^ -+- a'b'^) cos 0] -h b'wib^ 4- //' -I- 26Ô' cos 0; = 0. Cette équation, jointe à
/-,; = 2{b'u^bv) = 0,
détermine les coordonnées de l'axe de la parabole. De cette seconde équation, on tire
et en remplaçant dans la première on obtient
b"{b'' — b') — bb'{a — a') + {a'b" — a6»J cos 0
b^ -h b'^-^2bb' cos 9
L'équation de Taxe peut donc s'écrire
l,"(h'i — b*) — bb\a — a') + {a'b'^ — ab^) cos 6 bx — b'y-h b' ^b" -h ^bb' cos 0 ~ '
129. On peut obtenir cette équation plus rapidement en considérant Taxe comme le diamètre conjugué de la direction perpendiculaire à la direction asymptotique.
Cette direction asymptotique ayant pour paramètres directeurs b' et b, la direction perpendiculaire aura pour paramètres b-hb'cos^ et — (^' + ^ cos 6). Les coordonnées de son diamètre conjugué seront déterminées par
b-hb' cosQ — (b' 4- b cos 6) '
Ces équations se déduisent aussitôt des équations (5) en remplaçant dans les dénominateurs uei v respectivement par les valeurs b et — b' que Ton déduit de la seconde équation flv = 0.
En résolvant ce système, on obtient pour tv la valeur écrite plus haut.
130. Dans le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires, les formules (5) se simplifient et deviennent
fL = o.
L'équation en S s'écrit
a"S^— S(A-hA')-i- A = 0.
Dans le cas de la parabole, les coordonnées de l'axe vérifient les équations
et l'équation de cet axe est
131. Exercice. — Trouver l'enveloppe des axes des coniques qui touchent deux droites fixes en des points donnés.
Prenons pour axes de coordonnées les deux droites données ; soit a Tabscisse du point A et p l'ordonnée du point B.
Nous allons chercher l'équation tangentielle générale des coniques tangentes en A et B aux droites Ox et Oy.
.11 faut d'abord écrire que le pôle de Ox est le point A.
L'équation du pôle de Ox est
On doit donc avoir
- fv =: h"u -\- a'v + btc =z 0.
a = 0, — rr: a.
De même pour que la conique soit tangente à Oy au point B, il faut qu'on ait
Tirons b et b' de ces relations et remplaçons dans l'équation de la conique ; il vient
a"w^ H VIO -{--^ wu ■+■ 2b"uv = 0,
qu'on peut mettre sous la forme
f{u, v, w) = ccpuv H- auw -+- j3rto -j- \w^ =: 0,
1 étant une variable.
Les coordonnées des axes sont déterminées par les équations
u — V cos 6 V — u ces 6
fw = 0,
ou
a(PuH-to) p(aM-l-to)
u — V cos 6 V — u cos 6
au-\- pv -h 2Ï10 =z 0.
On aura l'équation de Tenveloppe en éliminant X entre ces deux équations. Mais la première ne renfermant pas le paramètre 1 est précisément l'équation de l'enveloppe.
On peut l'écrire
(x{Pv-\-w){v — u cos 6) — p(au-f- w?)(ie — v cos 6) = 0,
OU
ai'^{u~ — v^)-i-uic{'^-hoi. COS 8) — VIO (a H- p COS 6) = 0.
L'enveloppe est une parabole dont l'axe a pour paramètres directeurs p + a COS 6 et — (a + i3 cos ô) ; cet axe est donc perpendiculaire à la droite qui joint le point 0 au milieu 1 de AB.
On voit en outre que les coordonnées des tangentes issues du point 0 à cette parabole satisfont à la relation
c'est-à-dire que ces tangentes sont les bissectrices des axes de coordonnées. Le point 0 est donc sur la directrice, qui se trouve être ainsi la droite 01, puisque cette droite est perpendiculaire à Taxe.
132. Tangentes aux sommets. — Les tangentes aux sommets, c'est-à-dire aux points où les axes rencontrent la conique, sont parallèles aux axes.
On aura les directions des axes en éliminant iv entre les équations (5) ; on obtient
(B"— A' COS e)w2 — wy(A — A') — (B" — Acose)u2 - q.
Les coordonnées des tangentes aux sommets devront vérifier cette équation ; elles vérifieront aussi l'équation de la conique
On peut donc dire que ces deux équations déterminent les tangentes aux sommets.
On aura les sommets eux-mêmes en prenant les points de contact de ces tangentes.
133. Les calculs sont beaucoup plus simples dans le cas de la parabole.
La direction perpendiculaire à l'axe a, comme nous l'avons vu, pour paramètres directeurs 6-i-6'cos8 et — (ô'-h écos 0).
Les coordonnées de la tangente au sommet satisferont aux deux équations
u{b -h b' COS 0) — v{b'-\-b cos ô) = 0,
Supposons, pour simplifier, les axes de coordonnées rectan-
gulaires ; la première équation devient
bu—b'v=0; on en tire
Il zn b\ V ^= b,
et en remplaçant dans la seconde il vient
ab" -i- a'b' -i-^bb'b" -i-^w{b' -i- b") --= 0,
d'où
ab'^-{-a'b^-{-Ub'b"
^b-'-\-h'-') et l'équation de la tangente au sommet est
ab'^-\-db^-\-^bb'b" ^
Le sommet s'obtient, soit en prenant le point de contact de cette droite, soit en prenant l'intersection de Taxe et de la tangente au sommet.
EXERCICES ET NOTES
1. L'équation générale tangentielle des coniques qui ont pour centre le point (a?, y) est
au^ + a'v- -h '2b"uo -h 2jcuic -f- 2i/cio -+- lo^ = 0.
Dans certains problèmes, on peut partir de cette équation pour obtenir le lieu des centres d'une conique variable.
2. Lien des centres des hyperboles équilatères inscrites à un triangle.
Prenons deux côtés du triangle pour axes. OA = a, OB = P . L'équation de la courbe est
2b" uv -h 2xuio 4- 2yvw -+- lo^ = 0, avec la condition
Pour que la conique soit une hyperbole équilatère, il faut qu'on ait
— a;2 2/2 2 cos 6 {xi/ — b") = 0.
Éliminant b" entre ces équations, on a l'équation du lieu,
iK^ -h t/^ 4- 2xy cos 0 2x 2y * r, ajâ cos 0 a p ~~ '
qui représente le cercle conjugué par rapport au triangle.
3. Lieu des centres des coniques tangentes en un point donné à une droite donnée, connaissant une droite et son pôle. Le lieu est une droite.
4 Lieu des centres des coniques tangentes à deux droites et passant par deux points.
Le lieu est une conique passant par le point d'intersection des deux droites, parle milieu de la distance qui sépare les deux points, par le milieu de la partie interceptée par les droites données sur la droite qui joint les deux points.
5. Soit xOy un angle fixe circonscrit à une conique, e^ AB une tangente telle que la partie AB comprise entre les côtés de Vangle ait une longueur minimum. Démontrer que les points A e^ B sont équidistants du centre.
La conique étant tangente aux deux axes a pour équatiorir
21uv + 2xuw -f- 2gvio -\-w^ z=z 0.
Soit - + I — i =0 l'équation de la tangente AB ; on aura
2X — 2^x — 2%y + a? = 0 et
AB^ — a2 4-^2 2a;â cos e.
Différentions ces deux équations ; on aura
— 2xd'^ — 2ydoL + acZ.3 + pda = 0, ac^a -+- pcïp — (acZ,3 + ^doC) cos 6 = 0 .
En éliminant da. et d^ on trouve
2x — (x 2y— p ^ — a cos 9 a — ^ cos 0 qui montre que le centre est sur la droite perpendiculaire à AB menée en son milieu.
6. Un triangle ABC est circonscrit à une conique, les points de
contact étant a, b, c. Démontrer que la droite qui joint le sommet A au point d oîi le diamètre Oa rencontre la corde de contact bc passe par le milieu du côté BC.
7. Une hyperbole est tangente aux axes d'une ellipse et les asymptotes de Vhijperbole sont tangentes à V ellipse ; démontrer que le centre de Vhyperbole est sur l'un des diaynètr es conjugués égaux de Vellipse.
a^u^ -{- bH^ — ic^z=zO, • ( I )
• 2Xuv + 2xuw H- ^yvic + lo^ =r 0 (2)
étant les équations de l'ellipse et de l'hyperbole ; les asymptotes de l'hyperbole sont déterminées par les équations (2) et (3)
ux + vy -]~w ^:z 0. (3)
Il faut écrire que les solutions du système (2) et (3) vérifient l'équation (i). Pour cela, éliminons lo entre (2) et (3) puis entre (i) et (3) ; on a les équations
{ux-\-vyY — 2Xmi; = 0,
et pour que ces deux équations aient mêmes racines, il faut qu'on ait
«2 ^2 yi ,,2
x' ou
ce qui démontre le théorème.
8. On mèiie une tangente commune à deux coniques concentriques et on joint les points de contact au centre ; démontrer que ces droites et les cordes communes qui passent par le centre forment U7i faisceau harmonique .
