CHAPITRE PREMIER LE POINT ET LA DROITE
1. L'équation d'une droite en coordonnées rectilignes homogènes peut s'écrire
ux-\-vy -^ wz = 0 ;
elle renferme trois coefficients, u^ v^w; mais comme la droite ne change pas quand ces coefficients varient proportionnellement, on peut dire que l'équation de la droite contient deux paramètres ; elle sera par suite déterminée si l'on connaît deux relations entre les trois coefficients.
Ces relations s'obtiennent dans la plupart des cas en assujettissant la droite à certaines conditions géométriques.
Exemples. I. Écrivons que la droite passe par un point de coordonnées a et ô ; on a
ua -\- vb -\- w = 0.
IL Assujettissons la droite à être à une distance donnée d d'un point qui a pour coordonnées a et b ; il vient
ua-hvb -h w — ■ — = d
ou
COORDONNÉES TANGENTIELLES.
vb
GÉOMÉTRIE PLANE
{ua -hvb-i- tvf — d^u^ -+• v'') =^ 0.
III. On sait que pour que la droite soit tangente à une conique qui a pour équation
Ax^ + '^Bxy -h Ctf -h 2Dj; -+- 2E?/ 4- F = 0,
il faut qu'on ait
u V îv 0
ce qui peut s'écrire, en développant,
fiv' = 0,
les quantités a, b, c, etc. désignant les coefficients des lettres correspondantes, A, B, C, etc. dans le développement du discriminant
2. On peut remarquer que les relations obtenues sont homogènes par rapport à w, v^ w. Nous allons démontrer qu'il en est toujours ainsi , c'est à-dire que toute relation qui est la traduction analytique d'une condition géométrique, est nécessairement homogène en w, y, ?/,».
En effet, la droite ne change pas si on remplace dans son équation w, v, w respectivement par Xm, au, Iw, X désignant un nombre quelconque ; par conséquent, comme la droite satisfait à la condition géométrique quelle que soit la forme sous laquelle on écrit son équation, toute solution «, u, w de la relation correspondante entraine la solution Xm, Xu, ho quel que soit X ; la relation considérée est donc homogène.
3. Une droite sera donc bien déterminée analytiquement par deux relations homogènes entre ses coefficients. Si ces deux
relations sont algébriques, entières, de degrés m et p, le nombre de solutions sera mp, d'après le théorème de Bezout.
