Si maintenant on donne une seule relation, toujours
homogène en u, v, w,
il y aura une infinité de droites dont les coefficients vérifieront l'équation (1); nous démontrerons plus tard qu'en général toutes ces droites sont tangentes à une même courbe.
On dira que l'équation (1) est l'équation tangentielle de la courbe, et pour éviter toute confusion la relation à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'un point pour que ce point soit sur la courbe sera appelée léquation ponctuelle de la courbe.
De même nous dirons que les coefficients w, v, w de l'équation d'une droite sont les coordonnées tangentielles de cette droite, tandis que les coordonnées d'un point seront appelées coordonnées ponctuelles.
Ainsi, par exemple, l'axe des x a pour coordonnées tangentielles 0, 1,0, puisque son équation est
?/ = 0; les coordonnées de l'axe des y seront 1, 0, 0; celles de la droite de l'infini, 0,0,1, etc.
Nous remarquerons aussi qu'étant donnée une droite, ses coordonnées tangentielles sont déterminées à un facteur constant près.
Nous allons maintenant examiner le cas où la relation (1) est du premier degré en u, v, iv.
5. ÉquaiioQ du Point. Théorème. — Toute équation homogène et du premier degré par rapport à u, y, lo représente un point. Soit l'équation
au -\- bv -{- cw = 0. (2)
On voit immédiatement que toutes les droites dont les coordonnées satisfont à cette équation passent par le point qui a pour coordonnées homogènes a, ^, c.
4 COORDONNÉES TANGENTIELLES. GÉ03IÉTRIE PLANE
L'équation (2) sera dite Véqualion tangentielle du point.
Il est à peine utile de faire observer que, réciproquement, tout point peut être représenté par une équation du premier degré ; autrement dit, en écrivant qu'une droite passe par un point, on a une relation du premier degré entre les coefficients de la droite.
On peut donc dire que Véquatlon tangentielle d^un 'point est la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'une droite pour que cette droite passe par le point,
de môme que L'équation ponctuelle d'une droite est la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'un point pour que ce point soit sur la droite.
Exemples. — L'origine des coordonnées a pour équation
un point sur Taxe des x, ayant pour abscisse a, sera représenté par l'équation
ua-\-w = 0.
6. Le point représenté par l'équation (2) n'est à distance finie que si le coefficient de w, c, est différent de zéro ; les coordonnées absolues de ce point sont - et -•
Si c = 0, on voit que toutes les droites dont les coordonnées satisfont à l'équation (2) sont parallèles à la droite qui joint l'origine au point de coordonnées a et 6 ; on peut donc dire que toutes ces droites passent par le point à l'infini dont les coordonnées homogènes sont a, b, 0.
Ainsi, w = 0 est l'équation du point à l'infini dans la direction de Oj?; u = 0 est celle du point à l'infini dans la direction de Oy.
7. Exercice. — Trouver les équations des points à l'infini dans les directions perpendiculaires aux axes de coordonnées, ces axes faisant V angle 0.
L'équation de la perpendiculaire à Ox menée par le point O
étant
