Étant donnée l'équation tangentielle d'une ellipse

f[u, V, w) = 0, trouver V équation de l'ensemble des diamètres conjugués égaux.

10. On considère des coniques ayant uti centre fixe et tangentes à une droite donnée en un point donné. Trouver le lieu des pôles d'une droite fixe et l'enveloppe des polaires d'un point fixe.

11. On a vu, (Jans la recherche des axes d'une conique définie par l'équation tangentielle f{u, v, w) =z 0, que les coordonnées de ces droites satisfont à l'équation

fû ^ fr

U — V COS 6 V — tt cos 0

Celte équation représente une parabole enveloppe des droites qui sont perpendiculaires aux droites qui joignent leurs pôles à l'origine.

Les axes de la conique sont alors les tangentes menées du centre à cette parabole.

i%. Enveloppe des axes des paraboles inscrites dans un triangle rectangle.

L'enveloppe est une courbe de troisième classe dont l'équation tangentielle est

(lt2 + v2) 10 H- (m2 — V^)[U'X — V?) = 0,

les axes de coordonnées étant les côtés de l'angle droit du triangle, a, p désignant les longueurs de ces côtés.

13. Enveloppe des tangentes aux sommets des paraboles inscrites dans un triangle.

Prenons pour axes deux côtés du triangle, OA = a et 08 = 1^. L'équation générale des paraboles tangentes aux trois côtés est

2bvw -f 2b'icu + 2b"uv =z 0,

avec la condition

boi -h &'p — b" = 0.

La tangente au sommet satisfait à l'équation de la courbe, et en outre elle est perpendiculaire à l'axe, c'est-à-dire à la droite qui a

pour coefficient angulaire -p' On aura donc la condition

b {u — V cos 6) =r b'{v — u cos 6).

En éliminant b, b\ b" entre ces trois équations, on aura l'équation tangentielle de l'enveloppe ; on trouve

i^ (i<2 | tj2 2uv COS 6) — uv [u (a cos 6 — p) -i- r (p cos 6 — a)] = 0.

On trouve la même courbe que dans l'exercice 6 du Chapitre 11. On sait en effet que le lieu des foyers des paraboles inscrites dans un triangle est le cercle circonscrit, et que les projections du foyer sur les tangentes sont sur la tangente au sommet.

14. Lieu des centres des hyperboles équilatères touchant deux droites données en deux points qui sont en ligne droite avec un point fixe.

15. Lieu des centres et enveloppe des asymptotes des hyperboles inscrites dans un trapèze.

16. Enveloppe des axes et des asymptotes des hyperboles équilatères circonscrites à un triangle.

On forme l'équalion ponctuelle de ces courbes; pour avoir la première enveloppe, on écrit que la droite wa; -h vt/ + ic = 0 coïncide avec le diamètre conjugué de la direction perpendiculaire ; pour avoir la deuxième, on écrit que cette droite rencontre les coniques en deux points à l'infini.

Ces deux enveloppes sont des hypocycloïdes à trois rebroussements.