RÉDUCTION DE L'ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ
134. Étant donnée l'équation tangentielle d'une conique rapportée à des axes quelconques aOy faisant l'angle 6, nous nous proposons de trouver l'équation tangentielle de cette même conique rapportée à ses axes si cette conique est une ellipse ou une hyperbole, à son axe et à sa tangente au sommet si la conique est une parabole.
Premier cas. a" ^fiO.
La conique est une ellipse ou une hyperbole. Dans ce cas la conique admet deux axes dont les coordonnées satisfont aux équations
U — U COS 0 V — M cos 6
fL = 0,
Ces coordonnées sont déterminées à un facteur constant près ; nous pouvons nous donner a priori une relation entre ces quantités ; nous les assujettirons à la condition if2 4 u2 — 2wu cos 0 = 1.
Nous désignerons par
UiX H- Viy -f- ivi = 0, UiX -h v^y -h iVi = 0
les équations des deux axes avec les relations
w? H- t)? — 2iiiVi cos 0 = 1,
Ul 4- V| 2W2Î^2 COS 0 = 1.
Nous prenons ces droites pour nouveaux axes de coordonnées, la première pour axe des y' et la deuxième pour axe des x'.
Nous désignons par x, xj et a?', ij' les coordonnées d'un même point par rapport aux deux systèmes d'axes.
Les coordonnées x' et ij' d'un point sont égales, au signe près, aux distances de ce point aux deux axes de la conique. Nous aurons donc, en choisissant convenablement les directions positives O'x' et O'y' ,
x' =: [UiX-\-Viy -\-Wx) &\n^^
y' = [u^x -h v^y -h w^) sin 0,
en tenant compte des relations (d).
Soit alors
u'x' -h v'y' -\-iv' = 0
Féquation d'une droite par rapport aux axes x'O'y'.
Cette même droite aura pour équation par rapport au premier système,
îv'
u'iuix + ViV -+- Wi) -h v'iu^x -H vjj H- ?^2) M- —. — - — 0
OU
w' xiuiii' 4- Wou') -h y(viu' -+- v^v') -h w^u' -\- w^v' -h — — - = 0 :
Si donc u, v, w désignent les coordonnées de cette droite dans le premier système d'axes, on aura, à un facteur constant près,
U = UiU' + U2V\ V -= ViU' -+- V2V',
10 = WiU -h W2V H :
sm 0 L'équation de la conique devient alors
f I UiU' -\- U2V' , V^u'-^-V^v'. IViU' -{- IVoV' -\-— -) =: 0.
\ sm 6/
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
On peut l'écrire
-h -: — - fUu\u' H- u^v' , Vxu' 4- v^v' IV lu' -\- iv^v') sin 6 ' ' ^
sm
On peut alors développer les deux premiers termes ; il vient
"u! xid w' v^ iv^ ^
Or, wi, fi, ivi et W2, î^2, î^2 étant les coordonnées des axes, les coefficients de u'v\ u'io' et v'iv' sont nuls. Déplus, nous avons vu (125) que
/•; =z 2Si(wi — î^iCosO), fl-^ = 2Si(yi - 1^1 cos 0), A - 0, Si désignant une racine de l'équation
F (S) = A — S(A4-A' — 2B"cosO)4-a"S2 sin^ 0 = 0.
En multipliant les trois équations précédentes respectivement par Wj, fi, Wi, et ajoutant, on a
WiA + "1 A + ^ A = 2Si(^ï -hvl — ^u,v, cos 0) ou
/(wi, vi, Wi) = Si.
On aurait de même
et l'équation réduite est
Sm" + S,^'^ 4-
ïv" = 0,
sin^ 0
Si et Sa désignant les deux racines de l'équation en S qu'on peut aussi écrire
a -S 6" 4- S cos 0 b'
6" 4- S cos 0 a' — S ù =0
COORDONNEES. — Il
On en déduit immédiatement Téquation ponctuelle de la
conique :
x"^ y'^ sin2 0
135. On peut, en partant de cette équation, 'retrouver les conditions pour que Téquation donnée représente une ellipse ou une hyperbole.
Pour que Téquation réduite représente une ellipse, il faut
que Si et Sa soient de même signe, c'est-à-dire que le produit
des racines de l'équation en S soit positif.
On a ainsi
Pour que l'ellipse soit réelle, il faut que les deux racines soient de signe contraire à a'. Or la somme des racines est
(A -f- A^ — ^^" cos 0) ^ a!' sin^ 0 '
on devra donc avoir
A + A' — 2B"cos6<0.
Or, il est aisé de voir que le premier membre de cette inégalité a le signe des deux quantités A et A' ; il nous suffit de démontrer que l'on a
I A 4- A' I > I 2B" cos 0 I
(A + A')' — 4B"^cos^O>0 ou encore
A2 + 2AA'(1 — 2 C0S2 6) + A'2 -t- 4(A A' — B"^) cos^ 0 > 0.
Or le trinôme A^ -h 2AA' (1—2 cos^ 6) + A'- est toujours positif, ainsi que le coefficient de cos^ 0.
On en conclut que l'ellipse est réelle si A ou A' est négatif, et imaginaire dans le cas contraire.
La conique sera une hyperbole si Si et S2 sont de signes
contraires, c'est à-dire si
Tous ces résultats sont contenus dans le tableau qui termine le numéro 98.
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