Deuxième cas. a
La conique est une parabole .
L'équation en S admet une seule racine,
A-hA' — 2B"cosô et à cette racine correspond un axe que nous prendrons pour axe des a?', en écrivant son équation sous la forme
u^x H- v^y -h W2 — 0, avec la condition
u\-\- v\ — 2w2f^2 COS 0 = 1.
Pour axe des xj nous prendrons la tangente au sommet, et nous écrirons son équation
WiT H- Ui?/ -\- tvi = 0,
avec la condition
îij H- uf — Swi^i cos 6 = 1.
L'équation de la conique devient alors comme précédemment
u'îv' ., ^ v'iv' „
W2, V2, W2 étant les coordonnées de Taxe, on a
et
/•(..„ .„ W2) = ^2 = A^A.^2B"cose-
Comme Wi, ui, ith sont les coordonnées de la tangente au sommet, on aura
et
n^fû^ -+- v^fv^ + wjl,^ = 0,
puisque le point de contact de cette tangente est situé sur Taxe.
L'équation réduite est donc
sm 0' ou
sm 0 Wi et vi seront déterminés (i33) par les équations
Uj Vi
b' -\-h cos 0 ~ A -H // cos 6
et
u\-^v\ — 2wiUi cos 0 = 1.
On en déduit sans peine
b'Ui -hbvi =z -^ — — - sJb^-\-b'^-^tbb' cos G. sm 0
Remarquons aussi que
A -1- A' — 2B" cos 0 = — [b-^ 4- b'-^ + 266' cos 0),
puisque a" = 0 ; par suite
' 62 + 6'2 + 266' cos 0
L'équation réduite peut donc s'écrire
Au'2 sin2 0 zh <îLu'w\b^ H- b'^ -i- 266' cos O)^ = 0.
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 149
Si p désigne le paramètre, réquation s'écrit
pv'^ d= 2mV = 0,
et l'on a
I A I sin^ 0 p = -^^
[b^^y-i^^W cosO)2 !A| désignant la valeur absolue de A.
138. Applications numériques. — 1° Soit à trouver l'équation réduite de Thyperbole équilatère déjà étudiée au numéro 99. Son équation, rapportée à des axes rectangulaires, est
u^ -h 10^ 4- 2 VIO — 2uv = 0.
On a
l'équation en S est donc
par conséquent l'équation réduite est Son équation ponctuelle est
2° Considérons maintenant la parabole qui a pour équation
Calculons son paramètre, en supposant droit l'angle des axes, par conséquent
139. Dans les problèmes où figurent des coniques de grandeur constante, il faut se servir de Téquation aux longueurs des axes ou de l'expression du paramètre.
Si l'on veut écrire par exemple qu'une ellipse a pour demilongueurs d'axes a et p, on écrira que l'équation en p^
aV + «"(A + A' — 2B" cos e)p2 + A sin^ 0 = 0
a pour racines a^ et p^ c'est-à-dire que
150 COORDONNÉES TANGENTIELLES. GÉ03IÉTR1E PLANE
A+A' — 2B"cosO 2 02 ^ sin^ 0
140. Problème. — Une ellipse de grandeur constante tourne autour de son centre ; trouver le lieu du yole d'une droite fixe et l'enveloppe de la polaire d'un point fixe.
Prenons deux axes rectangulaires passant par le centre de l'ellipse, l'axe des y étant parallèle à la droite fixe.
Soit
l'équation de la droite fixe ; appelons a et p les demi-axes de l'ellipse.
L'équation de cette courbe sera
f{u, V, w) nr au^ -+- a'v^ -\- 2b"uv -\-w~=zO; on peut en efTet supposer qu'on a préalablement divisé le premier membre de l'équation par a" ; de plus le centre étant à l'origine, les coordonnées de ce point sont nulles.
Écrivons que les demi-longueurs des axes sont égales à a et P ; on a (139)
a^ + pa^ -(a + a'), )
(2) a2p2 aa' — b"K ^ '
Les coordonnées du pôle d'une droite (t<, y, lo) sont fû au -\- b"v
~ fw ~ W'
fv h"u -\-a'v y =hn — ;
fw w
nous aurons les coordonnées du pôle de la droite fixe donnée, en
faisant dans ces formules
On obtient
En éliminant «, a' et h" entre les équations (2) et (3), on aura l'équation du lieu.
On obtient sans difficulté
p2(a;2 4 2^2 j pa;(a2 + p2) p a2p2 — 0,
équation d'un cercle qui a son centre sur Oa?.
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 151
Cherchons maintenant l'enveloppe des polaires d'un point par rapport à la même ellipse.
Prenons deux axes rectangulaires passant par le centre de l'ellipse, l'axe des x contenant le point fixe, dont nous désignerons l'abscisse par t/.
Si M, V, w sont les coordonnées de la polaire de ce point, on aura
au -+- b"v 1
b''u-ha'v = 0. ]
En éliminant a, a et b" entre les équations (2) et (4), on aura l'équation tangentielle de l'enveloppe cherchée. On trouve
a2p(M2 4- v2) ^- d^w^ -+- d{o(.^ + p)uw = 0.
On voit que l'enveloppe est une hyperbole (a"A < 0) symétrique par rapport à Oo;, puisque l'équation ne change pas quand on change v en — v.
Le centre a pour abscisse — ~ — ; on a aisément les sommets
en cherchant les tangentes parallèles à O'i/ c'est-à-dire en écrivant que a? — >^ =: 0 est tangente ; on trouve ainsi que les sommets
ont pour abscisses — et jf ce qu'on pouvait voir a priori.
Enfin, on peut remarquer que les tangentes issues de l'origine satisfont à l'équation
elles ont pour coefficients angulaires zti : l'origine est donc foyer.
