Deuxième méthode de réduction. — Invariants
Nous allons démontrer qu'étant donnée Téquation d'une conique
il existe certaines fonctions des coefficients et de Tangle des axes qui conservent la môme valeur quand on fait une transformation de coordonnées quelconque ; ces fonctions s'appellent des invariants.
Dans les formules de transformation (4) établies au numéro 34, nous avons introduit un facteur X arbitraire ; il est clair que les invariants dépendent de ce nombre ; nous le
i52 COORDONNÉES ÏANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE
choisirons de manière que les racines de l'équation en S soient des invariants.
Il importe pour cela que Ton ait
w^ + î;2 <^uv cos 0 = m'2 4- v'^ — 2u'v' cos 0',
u, V, IV et m', v' , iv' désignant les coordonnées d'une môme droite dans les deux systèmes, 0 et 0' les angles xOy et x'O'y'.
Égalons les distances du point 0' à cette même droite, calculées par rapport aux deux systèmes d'axes; on aura, au signe près,
w' sin 0' (up -{-vq-\- lo) sin 6
sjid^ 4- y'^ — ±u'v' cos 0' sju^ H- ^2 — 2mu cos 0 ou
t/2 ^ ^12 — 2w'tj' cos 6' M^ -I- z;2 — âwy cos 0
w'^ sin^ 0' {up -i vq -{- wf sin^ 0
Pour que les numérateurs soient égaux, il faut que les dénominateurs le soient, c'est-à-dire que
w'^ sin^ G' = {up + vq-i-îvY sin^ 0.
Mais nous avons la formule
Iw' = yp -i-vq -\-w.
On doit donc avoir
X = ±?!^; sm 0
on peut prendre le signe H-, et les formules de transformation deviennent, en remarquant que ^ — x — 0' :
u' sin 3 — v' sin a
sinO . ■
— M'sin(0 — p) + «' sin(0 —
sm 0
— r>sm 3 + çsm 0— 8) , «suia— âfsm(0 -a) sm 0' ,
IV = — ^—^ ^ — u'-{-- f-— ^ • v' 4- - — -w' .
sm 0 sm 0 sm 0
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
Le module de la substitution est alors sin p sin a
sin 6' sin 0
sin 0 sin 0
sin(0— p) sin(0 — a)
sin 0 sin fi
Cela posé, remplaçons dans le premier membre de l'équation de la conique f{u, v^ w), u, u, w par les valeurs cidessus ; /"(m, v, ?/;; devient une nouvelle forme quadratique
Si A, désigne son discriminant, on sait que OU en remplaçant [i par sa valeur,
Aj A
sin^ 0 On voit ainsi que Texpression
sin* 0
sm* 0
est un invariant tel
que nous Tavons défini.
Démontrons maintenant que les racines de Féquation en S sont des invariants.
En tenant compte des formules de transformation, on a
f{u, V, iv) ^ f,{u', v', w').
U^ + î;2 — 2mv COS ^ = u'
Donc, on a, quel que soit S,
"-lu'v' cos 6'.
/"(m, u, lo) — S(w^
2wu cos 0) = fi{u', v', w')
— S(w'2 -H v'^ — 2mV cos 6'),
ce qui revient à dire que le second membre se déduit du premier par la transformation indiquée plus haut.
Si Ton désigne par F(S) et Fi(S) les discriminants des formes quadratiques qui figurent dans les deux membres, on aura, quel que soit S,
F,(S)^tx2F(S).
Or F(S) et Fi(S) sont les premiers membres des équations
en s relatives aux deux équations
il en résulte que les équations en S ont mêmes racines. L'identité précédente peut d'ailleurs s'écrire
Al — (Al + Ai — 2BI cos 0')S -h «iS^ sin^ 0'
sinM' __„ .. ... .
sin*
qL" i-
— r iv — ^jj
