Nous pouvons maintenant établir que tout invariant

est une fonction des trois invariants trouvés plus haut, à

savoir,

A A-4-A' — 2B" cos 0 a"

sm*

sin^ 0

in'2 6

sm

En effet, s'il existait un quatrième invariant H, on aurait

la relation

Hi désignant cet invariant formé avec les coefficients de la forme réduite.

En éliminant a,, a\^ a'I entre les équations (6) et (7), on aurait une relation entre les coefficients a, a', a", à, b', b", ce

qui est manifestement impossible, puique ces coefficients peuvent être choisis arbitrairement.

Il faut donc que la relation (7) soit conséquence des relations (6), c'est-à-dire que H soit fonction des trois premiers invariants.

144. On peut même par ce procédé trouver l'équation de la conique rapportée à deux diamètres conjugués faisant l'angle 6'.

Cette équation a toujours la forme simple

et l'on a

aia'itt'l

sin* 0' sin* 8

<(«! -h a'i) A -f- A^ — W cos 6 sin* 6' "~ sin* 6

sin^ 0' sin^ 0 On en déduit

ûiH-rti AH-A' — 2B" cos 6 sin^ 0' ~ a" sin^ 6 '

a^a'^ A sin^ 0' ~ a" sin^ e'

L'équation sera donc

,. a" sin^ 6' ,,

iv''- = 0,

(Ji et as étant les racines de l'équation aV sin^ 0 ^A + A' — 2B" cos 0)a sin^ 6' On pourrait déduire de là les théorèmes d'Apollonius.