Deuxième cas. a
La conique est une parabole.
On peut avoir a priori la forme de l'équation de la parabole rapportée à un diamètre et à la tangente à l'extrémité. La courbe passant par l'origine et ayant pour tangente 0'y\
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 157
rensemble des termes du deuxième degré en u' et v' se réduit à a[v'^ ; de plus la direction O'x' étant la direction asymptotique, on a ^1=0, de telle sorte que Téquation est
Si les axes sont rectangulaires, la parabole est rapportée à son axe et à sa tangente au sommet.
Écrivons les formules (5), qui sont au nombre de deux, puisque a" =: al =0 :
sin^ 0 A 4- A' — 2B" cos 0
sin* e on en tire
^'' "" A -h A' — 2B" cos 0 ~ b^^b'^-^^bb' q.q^ 6 '
^ y/— (A+A^ — 2B^^cos e) ^ v//^2 ^ ^/2 ^ 266^ cos e ~ ~ sin2 G sin^ 0 '
L'équation réduite est alors
A^" , ^slb^^b'^-^tbb' cos 0 , ,
"r" . 11 tir — n
b^ + b'^ + '±bb' cos 0 ~ sin^ 6 w «^ - u
ou
Ai;'2 sin2 6 , , ± ^u'to' - 0.
(Ô2 | //2 4 <^bb' cos 0)2
Le paramètre p a donc pour expression
I A I sin2 0
(è2-i-//2 + 2ôô'cos 6)2
On pourrait aussi, d'une façon analogue, obtenir l'équation de la parabole rapportée à un diamètre quelconque et à la tangente à l'extrémité de ce diamètre, en se donnant l'angle 0' de ces deux droites.
146. Exercice. — Trouver l'équation d'une hyperbole rapportée à ses asymptotes.
Soit
/■(w, V, w) = au^ + a'v^ + a"w- -\- 2bvio + 2b'iou -h 2b"uv =z 0
l'équalion d'une hyperbole rapportée à deux axes faisant l'angle 0.
Nous nous proposons de trouver l'équation de celle courbe rapportée à ses asymptotes.
Le centre étant à l'origine, on aura
b\ = bi = 0.
De plus les tangentes issues de l'origine étant les deux axes, les termes du second degré en u' et v' se réduiront à 2b'[u'v\ de telle sorte que l'équation de la courbe sera
2blu'v' + a'^w'-^ == 0.
Les relations entre invariants peuvent alors s'écrire, en désignant par 6' l'angle des asymptotes,
— a'ib\^ A sin^ 6' ~* sin* 6
2a'[b'l cos 6' A H- A' — 2B" cos 6 sin* 6' ~ sin* ô
sm=^ 0 sm'' 8
De ces formules on peut tirer a'I, b'[ et 6'.
En divisant les deux premières successivement par la dernière,
on a
— &f A sin2 6' — a" sin^ 6 '
2b'{ cos 6' A + A' — 2B" cos 6 sin^ 6' ~ a" sin=^ 6
et, en éliminant bl , il vient
^ë "^ — (A + A' — 2B" cos 6)=^ ' on en déduit aisément a'[ et b'[.
EXERCICES ET NOTES
1 . On peut obtenir les longueurs des axes d'une conique représentée par son équation tangentielle, en revenant à l'équation ponctuelle, et en transformant les résultats connus.
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 159
Soit
/*(«<•, V, ic) =z au- + a'v^ -+• a'io^ -+- 2bvw -+- 2b'wu 4- 'lb"uv = 0 l'équation d'une conique à centre.
Ti'équation ponctuelle de cette conique est
cp(a?, ?/, z) = Ax-^ -+- Ay -+- M'z^ -h 2B?/j + 2B'jjc + 'iWxy = 0,
et l'on sait que les demi-longueurs des axes sont racines de l'équation
d^pi + EDdp^ + D2 sin2 0 — 0,
où l'on désigne par D le discriminant de la fonction o[x, y, z) et où l'on pose
d = A'A" — B2, E = A + A' - 2B" cos G.
Or on a D =: A^, d = a"A ;
en remplaçant, on obtient l'équation trouvée au numéro 136, a"3p4 | E^''p2 4 ^ sin2 0 = 0.
On peut faire un calcul analogue pour la parabole.
2. Lieu du centre d'une ellipse de grandeur constante tangente à une droite donnée en un point dorme.
Prenons le point pour origine et la droite pour axe des x ; l'équation de la courbe sera
Xu' H- 2xuw -+- 2gvio -\-w^ =i 0 ;
écrivons que ses axes sont égaux à a et & ; on a
a^-\-b^ = X' -hy^ — 1, a-b^^z—ly^;
éliminant x entre ces deux équations, on a l'équation du lieu.
3. Enveloppe de l'axe d' une parabole de paramètre donné tangente à deux droites rectangulaires.
4. Lieu des centres des coniques inscrites dans un triangle et dont la somme des carrés des axes est constante (Steiner).
Le lieu est un cercle qui a pour centre le point de concours des hauteurs du triangle, et qui se réduit au cercle conjugué si la somme donnée est nulle, c'est-à-dire si les coniques sont des hyperboles équilatères. (Voir ex. 2, p. 138).
5. Parmi toutes les coniques inscrites dans un rectangle donné, il y en a deux qui passent par un point donné A.
Etudier la nature de ces coniques et trouver le lieu du point A pour lequel les deux ellipses qui y passent ont la même aire ou des aires qui sont dans un rapport donné.
6. Trouver V équation tangentielle d'une ellipse donnée rapportée à deux tangentes aux extrémités des diamètres conjugués égaux.
7 . On considère des hyperboles asymptotes à une droite, tangentes à une autre droite et telles que le rectangle construit sur les axes ait une aire constante. Trouver Venveloppe de la deuxième asymptote et l'enveloppe des axes.
Prenons l'asymptote pour axe des x, la tangente pour axe des y ; l'équation tangentielle des hyperboles est
"^.b'uw -h 2b''uv -\-w^ = 0 .
Soit 4^2 l'aire du rectangle construit sur les axes ; on a
h'^ =: è"2 sin2 6,
ce qui montre que b" est constant et a deux valeurs égales et de signes contraires. Le seul paramètre variable est b'. Les asymptotes satisfont aux équations
2b' uw -h 2b" (aV + 10^ z=. 0,
b'u 4- 10 = 0 ; en éliminant b' on a
2b"uv — w2 = 0,
qui représente une hyperbole rapportée à ses asymptotes. Les axes sont déterminés par les équations
b'v:-hb"v b"u
