X -{- y cos G z=z Oj
on voit que les paramètres directeurs (^) de cette direction sont cos 0 et — 1 ; par conséquent en exprimant qu'une droite passe parle pointa l'infini de coordonnées homogènes cos 6, — 1, 0, on aura
M cos 8 — v rr: 0.
On trouve de même que l'équation du point à l'infmi sur la perpendiculaire à Oy est
u — v cos 6 ::= 0.
8. Reconnaître si une droite variable passe par un point fixe. — Dans un grand nombre de cas on peut simplement résoudre la question en se donnant les coordonnées de la droite w, v^ w^ puis écrivant les conditions auxquelles est assujettie cette droite. On arrive alors à une relation entre u, V, w et certaines quantités constantes, et il suffit de constater que la relation obtenue est du premier degré en w, v, w.
Voici une application très simple de cette méthode à un problème bien connu.
9. Exercice. — Les trois sommets d'un triangle décrivent trois droites concourantes et deux côtés passent par deux points fixes. Démontrer que le troisième côté passe par un point fixe en ligne droite avec les deux premiers .
Prenons pour axes deux des droites données ; soit y = mx l'équation de la troisième et {x\ y'), [x", y") les coordonnées des points fixes P et Q. Désignons par
ux -irvy -}-io =z 0 l'équation de la droite AB ; les droites AC et BC ont respectivement pour équations
(1) On appelle paramètres directeurs d'une direction les coordonnées d'un point quelconque situé sur la parallèle à cette direction menée par rorigine.
Ainsi les paramètres directeurs de la droite ux + r// -h /r = 0 sont, à un facteur constant près, y et — u.
COORDONNÉES TANGENTIELLES. GÉ03IÉTRIE PLANE
rv
ux -h vy -f- 10
ux" -\- vy" + 10 x"
Je forme l'équation de la droite joignant l'origine au point de rencontre de ces deux droites, ce qui donne
—7 (ux' -\- vy' -\- %o) = -r (ux"
vy
et j'écris que cette droite a pour coefficient angulaire m. On a ainsi
mx"[iix' 4- vy' -\- w) — y'{ux" + vy" -{-w) r= 0 .
Cette relation étant du premier degré en w, v, lo, exprime que la droite passe par un point fixe. On voit de plus que ce point est situé sur la droite PQ, car les coordonnées de cette droite annulent
ux' -\- vy' -\- 10 et ux" + vy" -\- 10 ; elles vérifient donc Téqualion qui précède.
