Cinquième cas- — V équation (2) a une racine quadruple

1° Si cette racine n'annule pas Pi — P, les deux coniques admettent une tangente commune, dite tangente quadruple, ou réunion de quatre tangentes communes ; cette tangente touche les deux coniques au même point. On dit que les deux courbes ont en ce point un contact du troisième ordre.

2" Si cette racine annule Pi — P, à cette racine correspondent deux valeurs de u ; on a par suite deux tangentes communes, et il sera aisé de vérifier que l'une de ces tangentes touchera les deux coniques au même point et que le contact sera du second ordre, ou bien que les deux coniques seront bitangentes.

Si les deux valeurs de u sont égales, il y aura contact du troisième ordre.

171. Il résulte de cette discussion que deux coniques ont toujours quatre tangentes communes réelles ou imaginaires, distinctes ou confondues.

Si deux tangentes sont confondues, il y a contact ordinaire; si trois tangentes sont confondues, il y a contact du deuxième

ordre ; enlin si les quatre tangentes sont confondues, le contact est du troisième ordre.

Il est clair que l'une de ces tangentes communes peut avoir son point de contact à Tinfini, c'est-à-dire être asymptote ; il peut aussi arriver que la droite de l'infini soit tangente commune, ce qui a lieu dans le cas de deux paraboles.

Enfin à une tangente imaginaire correspond toujours une tangente imaginaire conjuguée.

172. Il ne sera pas sans intérêt d'étudier maintenant les différents ordres de contact au point de vue géométrique.

Considérons d'abord deux coniques tangentes, le point de contact étant à distance finie ; nous prendrons ce point pour origine et la tangente commune pour axe des x.

Pour que l'équation

au^ -+- a'n^ + d'vd^ -f- 2ôvic + Ih'wu -\- 2b"uv = 0

représente une conique tangente à Ox, il faut que a' =: 0 ; en outre l'équation du point de contact étant

1 f,. — Vu H- 6to = 0,

pour que ce point de contact soit à l'origine, il faut que h" = 0. On voit alors que a ne peut être nul. Nous pourrons donc écrire les équations des deux coniques

u^ H- 2b'uw H- 2bvio + a"w^ =: 0 ,

u^ -\- 2b[uw -\- 2bivw + a^io^ =z 0.

En éliminant u, on obtient l'équation

[2{bi — b)v H- (aï — a")wfw^

— ^b[ — b')[2{b'bi — bb[)v + {b'a'[ — a"b[)w]w^ = 0 ;

elle admet la racine double w=zO.

Pour que le contact soit du second ordre, il faut que ic — 0 soit racine triple ; on doit avoir b — ô^ = 0.

Enfin pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que 10 1= 0 soit racine quadruple, ce qui exige

b — biz=:0, {b'i — b')[b'bi — bb[) = 0,

ce qui donne

b — b^=0 et b' — b[= 0.

Nous allons étudier maintenant la position des deux courbes aux environs de l'origine.

Nous opérerons comme nous l'avons vu aux numéros 59 et suivants.

Nous poserons v = — I et nous développerons u en série ordonnée suivant les puissances croissantes de te. Pour le faire aisément, nous pouvons résoudre l'équation de la conique par rapport à u ; on a

u z= — b'w ih \Jb'-io'^ qu'on peut écrire

2bio.

,, ^ 1-7- Ïa [h'-^ — a")w-\^ u = — h'ic ± sj-lbio 1 + ' — — >

et par suite, en développant en série le coefficient de sl'-^bio,

u =z — b'w ±: J'Zbic 1 4

ou

zios/2bio ' —

u = z\/2bio

désignant ziz 1.

On aura de même pour la deuxième conique

Ui =r t\j2bi%c — b'^tc -+- zic\J2b\ic

^bi

Dans l'équation (5) on ne peut donner à lo que des valeurs du signe de b, et dans l'équation (6) te ne peut être que du signe de bi.

Premier CAS. b:^bi. Contact du premier ordre. Tout d'abord si b et b^ sont de signes contraires, w reçoit des valeurs de signes contraires dans les relations (5) et (6) ; il en résulte que les deux courbes sont situées de part et d'autre de Ox.

Supposons maintenant b et &i de même signe, et positifs pour fixer les idées ; w ne pourra recevoir que des valeurs positives ; chacune des équations (5) et (6) détermine pour u deux valeurs infiniment petites de signes contraires ; nous comparerons les valeurs positives et les valeurs négatives.

En retranchant les équations (5) et (6) on a

u — ui = zsJwl^Zb — \fzb]\ -\-{b[ — b')w-^---\

le premier membre a le signe de [sj^b — sJWi)i. Supposons b ':> b^ et prenons s zr + 1 ; u — u^ sera posi-

tif ; au contraire pour e rrr — 1 , u — u\ change de signe et devient négatif; ce qui montre que u est toujours supérieur à t*i en valeur absolue.

On voit ainsi que les deux courbes ne se traversent pas.

Deuxième cas. b=ib^. b'z^b\.

Contact du second ordre. En retranchant les équations (5) et (6) on obtient

Supposons & > 0 ; lo recevra des valeurs positives ; on voit que

u — m aura un signe constant, celui de b'i. — b'. Supposons encore b[ — ô' > 0.

Si £ est positif, u et Ui sont positifs et l'on a u'^u^'j si e est négatif, M et wi seront négatifs, mais M sera plus petit que mi en valeur absolue. On voit ainsi que les courbes se traversent et sont toujours d'un même côté de Ox.

b = bi. b' =: b[. Contact du troisième ordre.

Troisième cas.

On a cette fois

Ui =. eic\J2bio\ -

u — Ui change de signe avec s ; donc en supposant ô > 0, ?« est toujours supérieur à m^ en valeur absolue ; les deux courbes ne se traversent pas et sont toujours d'un même côté de Ox.

173. Supposons maintenant que le point de contact soit à Tinfîni, c'est-à-dire que les deux coniques aient une asymptote commune; si nous la prenons pour axe Ox, les équations des coniques s'écrivent

u^ -+- 2b'uvo 4- 2b" uv + a"w^ =, 0,

tc^ -h 2b[uio -h 2bluv -H a'iw^ = 0 .

En éliminant u on obtient

{a" — ayw^

— ^[{bl — b")v -f- [b'i — b')%o]\i^a'[b" — a"bl)v -\- ia",b' — a"b[)w\w'^ = 0.

Cette équation admet la racine double to = 0.

Pour que le contact soit du deuxième ordre, il faut que le coeffi-

cient de v^w^ soit nul, ce qui donne la condition

{b'I — b"){a'ib" — a"bl) = 0.

Si b"i — b" = 0, à la racine w = 0 correspondent deux valeurs de u inégales, et par conséquent il n'y a pas contact du second ordre.

On doit donc avoir

a'[b" — a"b'i =: 0 ou

On voit en effet aisément que a" et a" ne peuvent être nuls. Pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que le coefficient de vw^ soit nul, ce qui donne

et, comme plus haut,

a" al

Nous allons poser encore v = — i , et développer en série u par rapport aux puissances croissantes de w. Nous n'aurons qu'une seule valeur de u infiniment petite en même temps que w.

En résolvant l'équation de la conique par rapport à w, il vient

u = b" — b'io it sl{b" — b'wf — a"w^,

= b" — b'w ± s/b"^ — '^b"b'w -h (6'2 — a"]w\ et la valeur de u, infiniment petite avec w, sera

it

u ::^ b — blO — b \ i 777- 10 -f

en remarquant que b" ne peut être nul.

Développons en série le coefficient de b" ; on obtient

U=b -blO-b\\ -W,-^^^2___

OU

On aura de même pour la deuxième courbe

Ces développements permettront de déterminer la position de chaque courbe par rapport à l'asymptote, comme on l'a vu au numéro 64.

COORDONNÉES, — U l'A

194 COORDONNÉES TANGENÏIELLES. GÉ03IÉTR1E PLANE

Pour avoir la position relative des deux courbes, retranchons les équations précédentes ; nous avons

a" a" Premier CAS. -jr,^-A' Contact du 'premier ordre.

ii — ui a un signe constant quel

que soit lo. Supposons d'abord -y^

et yj de signes contraires, par exemple ttt > 0 et -jj, <0; u est

toujours positif et u^ toujours négatif.

yl

Supposons maintenant

rp- Qi — de même Signe,

positifs par exemple, et de plus

11 en résulte que m, u^ et la différence u — mi sont positifs. H est alors facile de construire la courbe.

DEUXIEME CAS. -rypz^—- -— zzf: -i • Contact du aeuxieme ordre . h h[ a ^^ o!\

On voit alors que dans la différence u — mi, le coefficient de \o^ est nul, mais celui de w^ est différent de zéro.

M et Ml sont de môme signe, supposons-les positifs ; quant à la différence tt — w, , elle change de signe avec to, ce qui permet de construire la courbe.

Le produit des carrés des longueurs géométriques des axes est, au

signe près, (136), ^ ^^"" ^ ■

Si Téquation de la conique est

ce produit se réduit à

sin2 0.

11 en résulte que si deux hyperboles ont une asymptote commune et un contact du deuxième ordre, le produit des longueurs géométriques des axes est le même pour les deux courbes, et la réciproque est vraie.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux hyperboles qui ont une asymptote commune aient un contact du deuxième ordre sur cette asymptote est que les rectangles construits sur les axes aient même aire dans les deux courbes.

Troisième cas. -rr,=^-A-' —7; =^-7,' Contact du troisième ordre, b b[ a a[

u — Ui est infiniment petit du quatrième ordre et a un signe constant quelque soit to ; déplus u et Wj ont le même signe^ on a donc la même forme de courbe que dans la seconde hypothèse du premier cas.

Mais on peut remarquer que les deux coniques ont même centre, et que les rectangles construits sur les axes ont même aire.

On a donc le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux hyperboles qui ont une asymptote commune aient un contact du troisième ordre est qu'elles aient même centre et que les rectangles construits sur les axes dans les deux courbes aient même aire.

174. Pour terminer cette discussion, nous allons considérer deux coniques tangentes à la droite de Tintîni au même point, c'est-àdire deux paraboles ayant leurs axes parallèles, et nous chercherons la condition pour que ces courbes aient à l'infini un contact du deuxième ou troisième ordre.

Nous prendrons l'axe des x parallèle à la direction commune des axes, et comme cette direction a pour paramètres directeurs b' et &, nous aurons b =z 0.

Les équations des deux paraboles peuvent alors s'écrire

u^ -h Wuv + 2b'uw H- a'v^ = 0, v.^ -h 2b'[uv -+- 2b\uw -+■ a[v^ ■=. 0. En éliminant u on obtient («;— a')2u*— 4[(6';-6")vH-(6;— &')io][(a'i^?"-a'&';)vH-(«;ô'— a'&;)w5]u2 — 0.

Cette équation admet deux fois la racine v — 0 \ à cette racine correspond la valeur w = 0, ce qui donne comme tangente double la droite de l'infini.

Pour que le contact soit du deuxième ordre, il faut que le coefficient de wH^ soit nul, c'est-à-dire qu'on ait

bl — b' ne peut être nul, sans quoi à la racine v = 0 correspondraient deux valeurs de u différentes. On devra donc avoir

Pour que le contact soit du troisième ordre, il faudra que le coefficient de wv"^ soit nul, ce qui donne

a' a'j On pourrait également étudier la position relative des branches infinies en faisant to = — 1, et en développant u en série ordonnée par rapport aux puissances de v.

On a

u = — [b"v — b') zb sj[b"'^ — b'f—a'v^,

f — {p"n — b') ± v/ô'2 — •ib'b"v + (&"2 — a')v^ ,

ou bien

Si m désigne le coefficient angulaire de la droite ux-^vy — 1 =0, on a m = > et le développement précédent peut s'écrire

V est Tinverse de l'ordonnée à Torigine. On aura de même pour la deuxième parabole

w^i = — rn7 ^ — 7:T7i v^

%b\ """W} et en faisant la différence,

m — mi

Considérons la formule (7) ; elle nous permet de déterminer la position des branches infinies de la première courbe.

En effet, en supposant — ijT' > 0) on voit que m a le signe de

V pour les valeurs de v suffisamment petites ; on voit ainsi que la parabole tourne sa concavité vers les x positifs ;

ce serait le contraire si —^m était

zo

négatif.

Pour avoir la position relative des branches de courbes, nous distinguerons plusieurs cas comme précédemment.

Premier cas. — :^ -j^- Contact du premier ordre.

Si j-, et ■— sont de signes contraires, les deux paraboles tournent leurs concavités en des sens différents. Si j-, et p- sont de même signe, négatifs par exemple, les deux

paraboles tournent leurs concavités vers les x positifs, et m — mi a le signe de v, si a'i a'

Nous aurons donc les branches de courbe cicontre.

Deuxième cas. —, b

T7- —,^-t' Contact du &i a ' a^

deuxième ordre.

Les deux courbes tournent toujours leurs concavités dans le même sens, on voit de plus que m — m\ a un signe constant quel que soit v.

Les branches infinies des deux courbes s'entrecroisent.

On peut remarquer aussi que les paramètres des paraboles sont égaux.

Nous avons vu en effet que le paramètre

d'une parabole est donné par la formule (137'

1 A I sin- 0

(^,2 ^ ^'2 j 2^// cos 0)2

Cette formule devient pour la première de nos courbes

— a'h'^ I sin^ 0

sin2 0.

Comme — = jj i les paramètres des deux paraboles sont égaux.

On peut énoncer le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux paraboles aient un contact du second ordre à l'infini, est que ces deux paraboles aient leurs axes parallèles^ leur concavité dans le même sens et leurs paramètres égaux.

Troisième cas. 77 = --J . — z= ~. Contact du troisième ordre, b b\ a a\

Les deux paraboles ont toujours leur concavité dans le même sens, elles sont égales et ont même axe. La disposition relative des branches infinies est la même que dans la seconde hypothèse du premier cas. On peut énoncer le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux paraboles aient un contact du troisième ordre à l'infini, est qu elles soient égales, qu'elles aient même axe et qu^elles tournent leur concavité da7is le même sens.