Équation du point d'intersection de deux droites
Soient Ai(wi, v^, ii\) et A2(i/2, u,, iv^) les deux droites données ; d'après la définition de Téquation du point, il nous faut trouver la condition pour qu'une droite quelconque (w, v, ir) passe par le point de rencontre de Aj et A,. On sait que cette condition peut s'écrire
c'est l'équation cherchée.
En la développant, on obtient
u{ViW2 W1V2) -i-v{lViUi V1W2) -h w{UiV2 U1W2) = 0,
et nous voyons que les coordonnées homogènes du point de rencontre des deux droites sont v^uh — îv^Vi, w^Ui — Ux^ii\^ UiV2 — ViU2. Ce point est à l'infini si «1^2 — ViU2=^0; on retrouve ainsi la condition de parallélisme de deux droites .
11. De l'équation (3) on peut déduire comme il suit les coordonnées d'une droite quelconque passant par l'intersection de Al et de ^2' Le déterminant étant nul, il existe entre les élé-
LE POINT ET LA DROITE i
ments des colonnes une même relation linéaire et homogène^
soit
Am + Bwi -h CU2 = 0,
Au + Byi-t-Cya = 0, Aw H- BWi -+- Cw2 = 0.
Le coefficient A n'est pas nul, car s'il était nul, Wi, Vi, Wi seraient proportionnels à Wg, ^2, «^2, et les deux droites Aj et A, coïncideraient.
Nous pouvons donc résoudre les relations précédentes par rapport à ii, v, iv, et Ton a
U ^=. AUi H- [JLW2, V = IVi-h IXV2, W = AlVi -+- IXW2.
En faisant varier >. et [jl de toutes les façons possibles, on obtient les coordonnées de toutes les droites passant par l'intersection des deux droites données.
Ce résultat est d'ailleurs une conséquence immédiate d'une propriété établie en géométrie analytique. On sait que l'équation générale des droites passant par l'intersection des deux droites qui ont pour équations
P2 = u^x -h v^y -+- uh = 0 est
li\ H- fjtP^ = 0,
et, d'après la définition, les coordonnées de la droite représentée par cette équation sont \u^ -h \xu.2, ^Vi h- \i.v^, Iwi -+- [j-W2.
12. Exercice. — Etant donné un système de valeurs de X et de [Ji, reconnaître si la droite correspondante qui a pour coordonnées lui -+- [j.1/2, Ivi -+- iJLUo, X^^l H- IJ-W2 est située dans l'angle aigu ou dans l'angle obtus des deux droites Ai et Aj.
Soit A un point quelconque du plan; par ce point je mène une perpendiculaire à la droite A, ; cette perpendiculaire rencontre Al au point Bi et A2 au point Bo. Il est clair que si les
deux points Bi et B2 sont de part et d'autre du point A, ce point est dans l'angle aigu des deux droites Ai et Aj; si, au contraire, les deux points Bi et Bo sont d'un même côté du point A, ce point est dans l'angle obtus formé par Ai et a2- Nous nous appuierons sur cette propriété pour résoudre la question.
Soient a?', y' les coordonnées du point A; l'équation de la perpendiculaire menée par ce point à la droite Aj est, 6 désignant l'angle des axes,
Ui — Vi cos 0 Vi — Ui cos 6
et les coordonnées d'un point quelconque de cette perpendiculaire ont pour expression
X = x' -^ p{ui — Vi cos 0),
y = y' -i- p{vi — Wi cos 6), • ^ ^
p étant proportionnel au segment qui a pour origine le point A et pour extrémité le point [x, y).
On aura les valeurs de p, pi et p2, relatives aux points Bi et Bs, en écrivant que les expressions (4) de a: et de y satisfont aux équations des droites Aj et Ag. On trouve ainsi
Uix' -{- v^y' -h Wi
v\ — Swi^i cos 0
U1U2 •+- ViVo — (M1U2 H- u^Vi) cos ô
L'expression Wj^ ■+- Vi^ — '^uiVi cos 0 étant toujours positive, le produit pip2 aura le signe de
E = {UiX'-\-Vitj'-\-Wi){lliX'-{-Vi^j'-hW2)[Ulll2-hViV2 — {UiV2-i-U2Vi) COS 6].
Si cette expression est positive, pi et p2 sont de même signe, les deux points Bi et B2 sont d'un même coté du point A, ce point est donc dans l'angle obtus des droites a, et A2. Si, au contraire, l'expression E est négative, le point A est dans l'angle aigu.
Supposons maintenant que le point A soit situé sur la
droite A qui passe par l'intersection de ai et de A2 et qui a pour coordonnées Xu^ -\- 11U2, À^i + [j-v.,, Iwi -+- i^w^ ; on aura
d'où Ton tire
X u^x' -\- v^y' -+■ tv^
(X UiX' 4- Viy' -+- ii\ '
ce qui montre que le produit
[u^x' + Ui?/' H- Wx)[u2x' -\- Voy' 4- ith) a le signe de — Xjx. Alors l'expression E aura le signé de
— X[Jl[WiM, + UitJ2 — {U1V2 -h UiVi) cos 6],
et la réponse à la question proposée est la suivante :
Si X{jl[wiW2 4- UjV, — (Î/1U2 -i- Woî^i) cos 6] >> 0, la droite A traverse l'angle aigu des deux droites Aj, A2 ;
Si X[jl[miW2 4-^1^2 — (W1U2 -t-W2Ui) cos 0] < 0, la droite A traverse l'angle obtus.
Nous remarquerons que dans tout ce qui précède nous avons
supposé
W1M2 -1-^1^2 — (i<iU2 4- W2V1) COS 0 7^ 0,
ce qui revient à supposer que les deux droites ne sont pas perpendiculaires.
La droite A ne change pas quand X et |jl varient de telle
manière que le rapport - reste le même. La position de la
droite ne dépend donc que de la valeur de ce rapport. Les
considérations qui précèdent prouvent que si le rapport -
varie en conservant un signe constant la droite A se déplace dans le même angle, et si ce rapport change de signe la droite A passe dans l'autre angle.
