Discussion de l'équation en À
Premier cas. — L'équation en X a ses trois racines distinctes. Soient X^, X2, Xg les trois racines ; on a
/•-h X/i = PiQi, f-\-Wi ^ P2Q2, /'-H >^3A = P3Q3.
Les six points Pi, Qi, Pg, etc. sont différents et la droite qui joint deux ombilics correspondants, tels que Pi et Qi par exemple, ne contient aucun des quatre autres ombilics (207).
Les quatre droites, P1P.2, P1Q2, Q1P2, Q1Q2 forment alors un quadrilatère dont les côtés sont les quatre tangentes communes aux deux coniques ; les points Pg et Q3 sont les autres sommets de ce quadrilatère.
Donc quand l'équation (1) a ses racines distinctes, les deux coniques ont quatre tangentes communes différentes.
Les trois droites PiQi, P2Q2, P3Q3 constituent un triangle conjugué commun par rapport à toutes les coniques du faisceau.
En ce qui concerne la réalité, on peut faire les hypothèses suivantes :
1** Supposons les trois racines X^, Xg, X3 réelles.
Si les quatre points Pi, Qi, P2, Qo sont réels, les quatre tangentes communes sont réelles; il en est alors de même des deux autres points P3 et Q3 ; le triangle conjugué commun est réel, ses côtés sont les diagonales du quadrilatère des tangentes communes.
On voit en même temps que si deux couples d'ombilics sont réels, le troisième couple est également réel.
Si les quatre points P^, Qi, P2, Q2 sont imaginaires conjugués deux à deux, les quatre tangentes communes sont imaginaires; en effet la droite P1P2 par exemple ne peut être réelle
puisqu'elle rencontre en un point imaginaire Pi la droite réelle PiQi.
Mais les deux points P3 et Q3 sont réels, car le point P3 par exemple est l'intersection des tangentes P1P2 et Q1Q2 qui sont imaginaires conjuguées; il en est de même pour Q3.
Le triangle conjugué commun est toujours réel.
S"* Supposons Xi et X2 imaginaires conjuguées et ^3 réelle. Les points Pi et Qi sont imaginaires non conjugués, mais ils sont respectivement imaginaires conjugués de P2 et Qo. Les droites P1P2 et Q1Q2 sont alors réelles et les droites P1Q2 et PoQi imaginaires conjuguées, puisqu'elles rencontrent en des points imaginaires les droites réelles P1P2 et Q1Q2; P3 et Q3 sont réels.
Dans ce cas les deux coniques admettent deux tangentes réelles et deux tangentes imaginaires conjuguées.
Le triangle conjugué commun a un côté réel et les deux autres côtés imaginaires conjugués.
On peut donc résumer de la manière suivante les résultats de cette première partie :
Quand l'équation en X a trois racines réelles et distinctes, les deux coniques ont quatre tangentes communes réelles ou quatre tangentes communes imaginaires conjuguées deux à deux, et le triangle conjugué commun est réel ^^K
Quand l'équation en X a une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées, les deux coniques ont deux tangentes communes réelles et deux tangentes communes imaginaires conjuguées. Le triangle conjugué commun a un côté réel et deux côtés imaginaires conjugués.
212. Deuxième cas. — L'équation en À a une racine double n annulant pas tous les mineurs de A(X) et une racine simple.
Soit Xi la racine double et X2 la racine simple; à chacune de ces racines correspond un couple d'ombilics distincts.
(1) Pour que les quatre tangentes communes soient réelles, il faudra qu'à deux racines au moins de Téquation en X correspondent des couples d'ombilics réels, c'est-à-dire qu'au moins deux racines rendent négatif Ax ou
OMBILICS 237
On a
/•+ À/i = PiQi, /•-+- l.f, = P2Q2.
La droite PiQi est tangente à toutes les coniques du faisceau au même point; par conséquent l'ensemble des deux points P2 et Qa constituant une conique du faisceau, on voit que l'un de ces points, Pg par exemple, sera situé sur PiQi.
Les deux coniques sont alors tangentes au point Pa et admettent pour tangentes communes les droites P1Q2 et Q1Q2.
Les deux droites PiQi et P2Q2 étant réelles, leur point de rencontre P2 est réel ; il en est de même de Q2. Par suite, à la racine simple Xg correspond toujours un couple réel.
Si à la racine double correspond un couple réel, les deux tangentes P1Q2 et Q1Q2 sont réelles, tandis que si le couple relatif à la racine double se compose de deux points imaginaires conjugués, les deux tangentes P1Q2 et Q1Q2 sont imaginaires conjuguées.
On voit donc que dans ce cas les deux coniques sont tangentes en un point réel et admettent deux autres tangentes communes réelles ou imaginaires conjuguées.
213. Troisième cas. — Uéquation en 1 a une racine double annulant tous les mineurs de A(X) et une racine simple.
li désignant la racine double et X, la racine simple, on aura
/'+x./; = pf, f-\-hfi = ^A;
la droite P2Q2 ne peut passer par le point Pi, puisque cette droite ne peut être tangente à aucune conique du faisceau. De ces équations on tire
On voit ainsi que les deux coniques sont tangentes aux points P2 et Q2 aux droites P1P2 et P1Q2. (196)
Le point Pi est toujours réel, les points P2 et Q2 peuvent être réels ou imaginaires conjugués.
Dans ce cas les droites qui ont même pôle par rapport aux
deux coniques se composent de la droite P2Q2 et de toutes les droites passant par le point Pi.
214. Quatrième cas. — IJ équation en 1 a une racine triple n'annulant pas tous les mineurs de A(X).
Soit Xj cette racine ; on a
/'+V, = PiQ,.
Nous avons vu que, dans cette hypothèse (208), les deux coniques sont tangentes au point Pi à la droite PiQi, et elles admettent une seconde tangente commune passant par le point Qi.
Elles ont au point Pi un contact du deuxième ordre, puisqu'on a Fidentité
/•^-Xi/i + PiOi
et que le point Pi est sur la conique (C) (199).
La droite PiQi est la seule droite qui a même pôle par rapport aux deux coniques.
215. Cinquième cas. — L^ équation en l a une racine triple annulant tous les mineurs.
Xi désignant cette racine, on a
et nous avons vu (208) que le point Pi était sur la conique (Ci). Il en résulte (200) que les coniques ont au point Pi un contact du troisième ordre, puisqu'on peut écrire
Toute droite passant par le point Pi a môme pôle par rapport aux deux coniques.
216. Terminons cette discussion en cherchant dans quel cas le premier membre de l'équation en X est identiquement nul.
En décomposant a(X) en une somme de déterminants, on obtient sans difficulté
A(X) rrr A H- ex -h BjX^ + AiX%
OMBILICS 239
A et Al désignant les discriminants des fonctions f\u, v, iv) et fi{ii^ Vy w)^ et en posant
e = Aai -h Ma, 4- M'a[ -+- ^U, -h 2B'ô; -+- '^^'b'i 0, = Airt -h A'iû' H- A;a" H- 2Bi6 + W,b' -h 2B';<5»". Pour que a(X) soit identiquement nul, il faut qu'on ait A = 0, 0 = 0, 01 = 0, Al = 0.
Les conditions a = 0, Ai = 0 expriment que les deux coniques se composent de deux systèmes de points P, Q et Pi, Qi.
On voit aisément w que la condition 0 = 0 exprime que la droite PQ est tangente à la conique (Ci), c'est-à-dire passe par l'un des points Pi, Qi. De même la condition 01 = 0 exprime que la droite PiQi passe par l'un des points
Ces deux conditions seront réalisées simultanément si l'un des points P, Q coïncide avec l'un des points Pi, Qi ou si la droite PQ coïncide avec la droite PiQi.
Tels sont les seuls cas 011 l'équation en X est indéterminée.
217. Les racines de l'équation en a sont liées .d'une façon très simple aux racines de l'équation du troisième degré qu'on obtient quand on cherche les sécantes communes aux deux coniques.
L'équation en X peut en effet s'écrire
A -+- X0 -^ X201 -+- X^Ai = 0,
en posant
0 = Aai -+- A'a'i -+- A"ai -h 2Bôi H- 2B'^'i -f- 2BX ,
01 = Aia -+- k\a' -h k'ia" -h ^IB^h -h Wib' -h 2B';^". D'autre part les équations ponctuelles des deux coniques
sont
^{x, y, z) = Ax^ + A'if + A"z' + 2B?/s -[- 2Wzx -+- 2Wxy = 0, o,{x, y, z) = AiX''-^A\y^-hA",z^-\-'iBiyz-h2B[zx-^2B\xy = 0,
(1) Car si u, v, w désignent les coordonnées de la droite PQ, u"^, v-, etc. sont proportionnels à A, A', etc.
et l'équation du troisième degré exprimant que
?{^, y, z) -H {^?i(^5 !/,2) = 0 représente deux droites est
A-4-[aAi B"4-!7.B'; B'H-i^B;
B"-f-îJiB; A'-hniA; B-+-HtBi =0.
B'-h-aB; B + HiBi A"H-|JiA^
Désignons jpar 8 et ôi les discriminants des fonctions o(.r, 2/, z) et Oi{x, y, z); par a, a',... aj, a'^... les coefïicients de A, A', . . . Ai , A; . . . dans le développement de S et de 0^ ; l'équation précédente pourra s'écrire
en posant
6 = aAi 4- oc'Ai + a"A'; + 2[3Bi + 2^'B; + 2?%-, 01 = «lA -H a'iA' -f- ai'A" -+- 2^B -h 2P;B' + 2pîB". Or on sait que
plus
S==AS 8i = Af;
oc = A'A" — B^ = a^,
