En écrivant que Téquation (2) a ses racines égales, on

obtient l'équation

*2 — 4FFi = 0,

qui représente l'enveloppe des coniques inscrites dans le quadrilatère Q, c'est-à-dire les côtés de ce quadrilatère Q luimême.

Nous obtenons ainsi l'équation de l'ensemble des quatre tangentes communes aux coniques G et Gi.

256. Corrélativement, éi^ni données les équations ponctuelles de deux coniques,

F = Aor^ + \Y -i- AY' -+- 2B?/s + 2B'sx -h ^2B"xy = 0,

Fi = Ajic2-HAy-hAÎ22-l-2Bi?yz-f-2B;za; + 2B;'.7'î/ = 0,

l'enveloppe des droites qui rencontrent ces coniques en quatre points conjugués harmoniques est une conique qui a pour équation tangentielle

cp(w, V, w) = (A'A'i -+- A"A[ — 2BB,)u^ -h (A"Ai-i- AA'j - 2B'B[y H- ( AA; + A'Ai — 2B"BïK -f- 2(B'BÎ4-B"B{ — ABi - BAi)y^^' -h 2(B"Bi + BB'; — A'B/ — B'AO^^" -1-2(BB;-+-B'Bi — A"BÎ — B"A';)wî; = 0. (3)

Gette conique est conjuguée par rapport au triangle conjugué commun aux deux coniques et elle touche les huit tangentes menées aux deux coniques en leurs points communs, d'où l'on déduit le théorème suivant :

Les huit tangentes à deux coniques en leurs points d'intersection sont tangentes à une même conique.

Dans le cas particulier oii les coniques données sont des cercles, elles ont comme points communs les points cycliques, les tangentes passent par les centres ; il en résulte que la conique (3) est tangente aux droites isotropes issues des centres des cercles, c'est-à-dire a pour foyers ces centres.

On peut le voir analytiquement en prenant pour axes la droite joignant les centres et une perpendiculaire au milieu ; les équations des cercles sont

x^-hy^ — lax + «2 R2 0,

x^ -\-y^-\- %ax -h a2 — R'2 = 0, et la conique enveloppe a pour équation tangentielle

conique qui a pour foyers les points (zt a, 0).

En désignant par d la distance des centres, l'équation précédente peut s'écrire

On reconnaît que l'enveloppe n'est réelle que si

Si rf^ < R2 + R'2, l'enveloppe est une ellipse ; Si cZ^ -> p^2 | fi'2^ Tenveloppe est une hyperbole;

enfin dans le cas où d} = R^-f- R'^, c'est-à-dire si les deux cercles sont orthogonaux, l'enveloppe se réduit aux deux centres, résultat qui est d'ailleurs fort connu.

Enfin si Ton désigne par

f(u^v, iv) = (A'A" — B^jw^-h ••• := 0, fi(u, v,w) = (A; A'; — Bf ) M^ + • • • = 0 les équations tangentielles des deux coniques, l'équation

cp2 — Aff, = 0 est l'équation tangentielle des quatre points de rencontre de ces deux courbes.