Coniques harmonlquement inscrites et circonscrites
Soient deux coniques déterminées, Tune par son équation
ponctuelle et Tautre par son équation tangentielle,
f{x, y, z) = ax^-^a'i/-\-a"z^+^bijz + Wzx-\-'^b"xy ^ 0. (S) cp(M, V, iv) = aw2,a'u2|aV-4-2py^^-^2p'^^M^-2^"My = 0; (C)
posons
& = aoL-h œ't! h- aV H- 2ôp + 26' ?' + 2 W',
et cherchons à interpréter géométriquement la condition
Cette interprétation est immédiate dans les cas particuliers suivants :
1° Si la conique G se compose de deux points, la condition (4) exprime que ces deux points sont conjugués par rapport à S.
En particulier, si ces deux points sont les points cycliques, la condition exprime que la conique S est une hyperbole équilatère.
Si ces deux points sont confondus, la condition exprime que ce point double est situé sur la conique S.
2° Si la conique S se compose de deux droites, la condition (4) exprime que ces deux droites sont conjuguées par rapport à laconique C.
Si ces deux droites sont confondues, la condition exprime que cette droite double est tangente à la conique G.
258. ^^^ Si la condition (4) est remplie, nous dirons que 1^ conique S est harmoniquement circonscrite à G, et que la conique G est harmoniquement inscrite à S.
On verra plus loin les raisons de cette dénomination.
Théorème. — Dans un faisceau -ponctuel de coniques il en existe en général une seule qui soit harmoniquement circonscrite à une conique donnée ; s'il y en a deux^ toutes le sont.
Si Ton suppose en effet que les coefficients de f{x, ?/, z) soient fonctions linéaires d'un paramètre X, l'équation (4) est
(1) Les considérations présentées aux numéros 258, 259 et 260 sont empruntées aux conférences faites par M. Darboux à l'école normale.
du premier degré en X et admet en général une seule solution^ à moins qu'elle ne soit identiquement satisfaite.
Théorème corrélatif. — Dans un faisceau tangentiel de coniques^ il en existe en général une seule qui soit harmoniquement inscrite à une conique donnée ; s'il y en a deux^ toutes le sont.
La démonstration est immédiate.
259. Voici quelques conséquences fort simples de ces théorèmes.
1" Supposons que la conique S soit harmoniquement circonscrite à G ; soient HK et MN deux cordes de S conjuguées par rapport à G ; toutes les coniques passant par les quatre points H, K, M, N seront harmoniquement circonscrites à G, puisque dans ce faisceau de coniques la conique S et Tensemble des droites HK et MN jouissent de cette propriété. Il en résulte que les couples de droites HM, KN et HN, KM seront conjugués par rapport à G.
Supposons, comme cas particulier, que la conique G se réduise aux points cycliques : S est alors une hyperbole équilatère, HK et MN sont perpendiculaires ; il en résulte que HM est perpendiculaire à KN, HN à KM ; ce qui démontre une propriété bien connue de l'hyperbole équilatère.
2° Soient maintenant deux couples de points A, A' et B, B' conjugués par rapport à une conique S ; ces ensembles de points constituent deux coniques harmoniquement inscrites à S ; il en sera de môme de toutes les coniques inscrites dans le quadrilatère ABA'B', en particulier les deux points de rencontre des droites AB, A'B' et AB', A'B seront conjugués par rapport à la conique S.
Nous obtenons ainsi une démonstration du théorème de Hesse déjà établi au numéro 238.
260. Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour que S soit harmoniquement circonscrite à G est qu'il existe une infinité de triangles inscrits dans S et conjugués par rapport à G.
V La condition est nécessaire. Supposons que S soit har-
moniquement circonscrite à C. Soit P un point quelconque de la conique S ; prenons sa polaire par rapport à C, et désignons par Q et R les points de rencontre de cette polaire et de la conique S. Je dis que le triangle PQR est conjugué par rapport à C. En effet, par le point P menons une droite quelconque PP', qui rencontre la conique S au point P'. Le faisceau ponctuel des coniques qui passent par les quatre points P, Q, R, P' contient deux coniques, la conique S et l'ensemble des deux droites QR et PP', qui sont harmoniquement circonscrites à C ; donc toutes les coniques de ce faisceau le sont également, en particulier l'ensemble de droites PR et QP' ; ces deux droites sont donc conjuguées par rapport à C, et comme le point P' est un point arbitraire de la conique S, il en résulte que le point Q est le pôle de la droite PR par rapport à la conique C, et le triangle PQR est conjugué par rapport à cette conique.
2° La condition est suffisante. Soit PQR un triangle conjugué quelconque par rapport à C ; je dis que toute conique S circonscrite à ce triangle est harmoniquement circonscrite à G. En effet, prenons un point arbitraire P' sur la conique S ; le faisceau ponctuel des coniques qui passent par les quatre points P, Q, R, P' contient deux coniques, les ensembles de droites PP', QR et QP', PR, qui sont harmoniquement circonscrites à G ; il en résulte que toutes les coniques du faisceau, et en particulier la conique S, sont harmoniquement circonscrites à G.
On voit ainsi qu'une conique harmoniquement circonscrite à une conique donnée est circonscrite à une infinité de triangles conjugués par rapport à cette seconde conique.
Corrélativement, on peut énoncer le théorème suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour que G soit harmoniquement inscrite à S est qu'il existe une infinité de triangles circonscrits à G et conjugués par rapport à S.
Gc qui revient à dire que G est inscrit à une infinité de triangles conjugués par rapport à S.
261. Application. Théorème (Faure). — Les cercles circonscrits aux triangles conjugués par rapport à une conique coupent orthogonalement le cercle orthoptique.
Soient
C = a^u^ -t- b^v^ t/,2 0 les équations d'un cercle et d'une ellipse ; pour que le cercle soit harmoniquement circonscrit à l'ellipse, il fautqu'onait
a2 + &2 — Y =: 0, ce qui montre que la puissance du centre de l'ellipse par rapport au cercle est égale à a^H- &^ carré du rayon du cercle orthoptique ; le théorème est démontré.
Si cette condition est remplie, l'ellipse est harmoniquement inscrite au cercle ; il en résulte le théorème suivant :
Une conique étant inscrite à un triangle, la puissance de son centre par rapport au cercle conjugué du triangle est égale à a^-\-h'^.
262. Théorème de Steiner. — Le Heu des centres des coniques inscrites à un triangle pour lesquelles la somme des carrés des axes est constante est un cercle ayant pour centre le point de concours des hauteurs du triangle.
D'après ce qui précède, les centres de ces coniques ont même puissance par rapport au cercle conjugué au triangle qui a pour centre le point de concours des hauteurs. Il en résulte que le lieu est un cercle concentrique au cercle conjugué.
C'est le cercle conjugué lui-même qui constitue le lieu dans le cas où la somme des carrés des axes est nulle, c'est-à-dire si les coniques sont des hyperboles équilatères.
263. Le cercle orthoptique d'une conique a pour limite la directrice si cette conique se transforme en une parabole ; les théorèmes du numéro 261 peuvent alors s'énoncer :
Les cercles circonscrits aux triangles conjugués par rapport à une parabole ont leurs centres sur la directrice.
Les cercles conjugués par rapport aux triangles circonscrits à une parabole ont leurs centres sur la directrice, autrement dit, le point de concours des hauteurs d'un triangle circonscrit à une parabole est sur la directrice.
264. Soit PQR un triangle conjugué par rapport à une conique S, j'inscris une conique quelconque C dans le triangle PQR ; il existe alors un triangle inscrit dans S et conjugué par rapport à C.
Supposons que Q et R soient les points cycliques. S est une hyperbole équilatère de centre P, C est une parabole de foyer P ; il en résulte que le foyer d'une parabole conjuguée par rapport à un triangle coïncide avec le centre d'une hyperbole équilatère circonscrite à Ce triangle.
On en conclut que le lieu des foyers des paraboles conjuguées par rapport à un triangle coïncide avec le lieu des centres des hyperboles équilatères circonscrites au même triangle ; ce lieu commun est le cercle des neuf points.
265. A l'aide des considérations précédentes, on peut établir simplement le théorème du numéro 112, à savoir que si les triangles o.hc et a'b'c' sont conjugués par rapport à une même conique S, leurs six sommets sont sur une conique.
En effet, soit C la conique qui passe par les points a, &, c, a', b' ; cette conique est harmoniquement circonscrite à S, donc la polaire de a' par rapport à S rencontre la conique C au point h' et en un autre point ci tel que le triangle a'h'c[ soit conjugué par rapport à S. il en résulte que c[ coïncide avec c'.
266. Réseaux taugentiels. — Étant données les équations tangentielles de trois coniques
^(^^, V, IV) — 0, féu, v, w) = 0, ^(î/, v, îv) = 0,
on appelle réseau tangentiel relatif à ces trois coniques Tensemble des coniques définies par l'équation
>^i/'i+ Va-h Va = 0, (5)
OÙ Xi, >V2, Xg désignent des nombres arbitraires.
Si l'on se donne une relation linéaire et homogène entre les nombres Xj, Xg, X3, de la forme
«1X1 + 03X2-1-03X3=: 0, l'équation (5) ne renferme plus que deux paramètres linéaires ; elle représente un faisceau tangentiel de coniques, et l'on dit que le faisceau appartient au réseau.
Parmi toutes les coniques représentées par l'équation (5), il en existe une infinité qui sont réduites à deux points ; nous allons démontrer que les droites joignant ces deux points, (droites qu'on appelle les droites doubles du réseau) enveloppent une courbe de troisième classe appelée la Cayleyenne du
réseau (du nom du géomètre anglais, M. Cayley, qui en a étudié le premier les propriétés).
Les coordonnées d'une telle droite vérifient les équations
dv dw
dv
do
dw diu
do
En éliminant X^, Xa, Iz entre ces trois équations, on obtient
àfi df, dj, du du du
df, df, dj,
dv dv dv
df\ df, df,
div diu dw
qui est l'équation tangentielle de la Cayleyenne.
267. Cette courbe est aussi l'enveloppe des droites dont les pôles par rapport à toutes les coniques du réseau sont en ligne droite.
Considérons d'abord les trois coniques
les pôles d'une droite (m, v, w) par rapport à ces trois coniques ont pour équations
du
dv
dw
du dv dio
du dv dw
et pour que ces points soient en ligne droite il faut que l'équa-
C00RD0NNEE9. — II
tion (6) soit vérifiée, c'est-à-dire que la droite considérée soit tangente à la Gayleyenne.
Si cette condition est remplie, le point qui a pour équation
XiPi -h X2P2 + X3P3 = 0,
c'est-à-dire le pôle de la même droite par rapport à une conique quelconque du réseau sera en ligne droite avec les points Pi, P2, P3.
268. Revenons à l'exercice résolu au numéro 188, et dans l'équation f{u, V, w) ■=. {) considérons X et R^ comme variables ; cette équation représente un réseau tangentiel défini par les coniques
f^ =z au^ -+- a'v^ -\- 2b'icu + 2b"uv = 0,
qui représente une parabole,
et f2 = ti^ + v^ = 0, fz= io2 = 0,
qui représentent respectivement lespoints cycliques et l'origine envisagée comme point double.
La Gayleyenne de ce réseau a pour équation
to[b"{u^ — 'y^)+(a' — a)uv — b'vw] = 0 ;
elle se décompose en un point, l'origine, ce qu'on pouvait prévoir, et une parabole P que nous avons étudiée. Cette parabole esl donc l'enveloppe des droites dont les pôles par rapport aux coniques du réseau sont en ligne droite.
Or le pôle d'une droite par rapport au point double 0 est ce point lui-même ; par rapport aux points cycliques, ce pôle esta l'infini dans la direction perpendiculaire à la droite ; il en résulte que la parabole P est l'enveloppe des droites qui sont perpendiculaires aux droites joignant l'origine à leurs pôles par rapport à une conique quelconque du réseau.
On peut également montrer que les droites dont on demande l'enveloppe dans l'exercice dSB sont des droites doubles du même réseau (1).
Menons du point 0 les tangentes OA et OB à une conique quelconque du réseau. L'ensemble des deux points A et B constitue une conique du réseau, donc la droite AB est tangente à la Gayleyenne.
Soit maintenant une tangente T à une conique quelconque du
(*) Voir Nouvelles Annales, 3° série, tome VIII, p. 331, un excellent article de M. Marchand sur ce sujet, auquel nous avons emprunté quelques-unes des remarques qui suivent.
réseau, qui soit perpendiculaire à la droite joignant le point 0 à son point de contact A. Le cercle de centre 0 et de rayon OA appartient au réseau, il est tangent à la conique ; ce cercle et la conique admettent donc deux autres tangentes communes rencontrant la droite T en deux points H et H' dont l'ensemble constitue une conique du réseau ; donc la tangente T est tangente à la Cayleyenne.
Enfin, les deux foyers (situés sur un même axe) d'une conique quelconque du réseau constituent une conique du réseau ; donc la droite joignant ces deux points, c'est-à-dire l'axe de la conique, est tangente à la Cayleyenne.
269 . Théorème (Chasles). — Deux faisceaux appartenant à un même réseau ont toujours une conique commune.
Soit, en effet, le réseau défini par l'équation
X/i -h Kf^ + ^aA =- 0 ;
deux faisceaux appartenant à ce réseau seront déterminés par les deux équations
a{ky + a^\^ -j- 03X3 =r 0,
61X1 4- 62X2 + 63X3 = 0, qui déterminent toujours un système de valeurs pour Xj, X2, X3.
270. Considérons comme exemple le réseau défini par les trois coniques suivantes :
1° Un point double 0 ;
2° Les points cycliques 1 et J ;
3° Une conique quelconque C.
Ce réseau est le même que celui que nous avons étudié au numéro 268, à cette différence près que la parabole est remplacée par u ne conique quelconque .
En combinant ces coniques deux à deux on a les trois faisceaux suivants :
1° Les cercles de centre 0 ;
2° Les coniques homofocales à C ;
3° Les coniques tangentes à C aux points de contact G et G' des tangentes issues du point 0.
Il résulte alors du théorème précédent qu'étant donné un faisceau quelconque appartenant au réseau, ce faisceau contiendra une conique faisant partie des trois faisceaux cités plus haut.
En particulier, étant donnée une conique homofocale à C, soit C,, et une conique tangente à C aux points G et G', soit C2, il existera
un cercle de centre 0 inscrit dans le quadrilatère des tangentes communes à Ci et à C2.
Supposons que la conique Ci se réduise aux foyers F et F' de la conique G et que la conique C2 se réduise aux points G et G' ; les droites FG, FG', F'G, F'G' seront tangentes à un même cercle de centre 0; on en déduit la relation
FG zt F'G =r FG' =t F'G' ;
et comme les points G et G' peuvent être pris quelconques sur la conique, on en conclut que pour tout point M de la courbe, on a
FM zh F'M = constante.
Cette démonstration est due à Chasles.
