Étant donné un réseau taugentiel
>^iA + hf2 + hfi = 0 (5)
défini par les coniques f\ =0, ^ = 0, ^ = 0, on peut définir ce réseau par trois coniques quelconques appartenant à ce réseau, à condition que ces trois coniques ne fassent pas partie d'un même faisceau tangentiel.
En effet, soient les trois coniques du réseau
cpi = a/i + OL^fi -+- ag/; = 0,
'f 3 = Ti/*! + ToA H- 73/3 = 0 ; pour que ces trois coniques n'appartiennent pas à un même faisceau, il faut qu'on ait
Pi ?2 Ps
Ti T2 Ï3
Si cette condition est remplie, on pourra tirer /i, /"o, /a des équations précédentes et on aura
^ = «iCpi -H a2«p2 -H «3?3,
/"a = 6i<pi -h ô^cpa H- Ô3CP3, fs = Cl cpi -h Cjcpa -H C3CP3,
et en remplaçant dans l'équation (5), on aura pour équation gé-
nérale des coniques du réseau
272. 11 n'existe pas en général de conique réduite à un point double parmi les coniques d'un réseau, car en écrivant que le premier membre de l'équation (5) est carré parfait, on a trois relations homogène^ par rapport à X^, X2, X3 qui, en général, n'ont pas de solution.
Pour qu'il existe un point double faisant partie du réseau (5), il faut et il suffit qu'on ait une identité de la forme
P désignant une fonction linéaire.
Cette condition exprime que l'une des trois coniques est bitangente à une conique du faisceau déterminé par les deux autres, et que le pôle de la corde des contacts est le point double P.
Si cette condition est remplie, la même propriété subsistera pour trois coniques quelconques du réseau, n'appartenant pas à un même faisceau,
?i =0, 0, = 0, cp3 = 0,
car d'après ce que nous avons vu au numéro 271 , l'identité précédente pourra s'écrire
/tiCpi -H /v2^2 -+- ^3?3 = P^
et le pôle de la corde des contacts sera le même.
273. Application. — Considérons un réseau défini par deux coniques bitangentes fi=0, A = 0 et par les points cycliques fo z=. 0. Ce réseau a un point double P, pôle de la corde des contacts.
On peut, pourdéfmir le réseau, remplacer les deux coniques fi et/*2 par deux coniques cp^ et ©2 homofocales respectivement à fi et fa. 11 existera alors une conique bi tangente à fs, c'est-à-dire un cercle inscrit dans le quadrilatère des tangentes communes à çi et ©2, et dont le centre sera le point P.
Supposons que l'on prenne pour coniques çi et ^2 les foyers des coniques fi et f^ ; en joignant les foyers de fi aux foyers de fi
on aura un quadrilatère circonscriptible à un cercle ayant pour centre le point P.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Si deux coniques sont bitang entes, les foyers de Vune joints aux foyers de l'autre déterminent quatre droites tangentes à un cercle ayant pour centre le point de rencontre des ty.ngetites communes.
Si laconique /"a se réduit à deux points situés sur la conique /*i, on retrouve le théorème établi au numéro 270.
274. Réseaux ponctuels. — Étant données les équations ponctuelles de trois coniques
?l(^, y, Z) = 0 , cpafj?, ?/, s) r= 0 , O^ix, ?/, Z) = 0,
Tensemble des coniques définies par l'équation
où [JL,, \i-2, \i-z désignent des nombres arbitraires, constitue ce qu'on appelle un réseau ponctuel de coniques.
Parmi toutes les coniques du réseau, il en existe une infinité qui sont réduites à deux droites, les points de rencontre de ces droites (les points doubles du réseau) sont situés sur une courbe du troisième degré qu'on appelle la Hessienne du réseau et qui a pour équation
do.
do.
dcp3
dx
dx
âx
ào,
ày
ày
ây
ôz
dz
dz
Cette courbe est aussi le lieu des points dont les polaires par rapport à toutes les coniques du réseau sont concourantes.
275. Réseaux conjugués. — La relation linéaire et homogène la plus générale entre les coefficients de l'équation tangentielle d'une conique C exprime que cette conique est harmoniquement inscrite à une autre conique.
Si on assujettit cette conique G à être harmoniquement ins-
crite à trois coniques données ayant pour équations ponctuelles
?i(^. y^ 2) = 0, ^2{x, y, z) — 0, cp3(a^, ?/, z) = 0,
on aura trois relations linéaires et homogènes entre les coefficients de l'équation tangentielle de la conique C, et par suite ces coefficients seront fonctions linéaires et homogènes de trois paramètres ; il en résulte que l'équation générale tangentielle des coniques G sera de la forme
\flu, V, îv)-hhf2{u, V, î6') + X3^(w, u, iv) = Ù; (5)
toutes ces coniques font donc partie d'un réseau tangentiel, et elles sont harmoniquement inscrites à toutes les coniques du réseau ponctuel
I^i?i(^, !/, 2) + ix20,{x, y, z) H- iJ.20,{x, y, z) = 0. (7)
On dit que les deux réseaux sont conjugués ^^\ Une conique quelconque du réseau (5) est harmoniquement inscrite à une conique quelconque du réseau (7), et une conique quelconque du réseau (7) est harmoniquement circonscrite à une conique quelconque du réseau (5).
276. Soit une conique du réseau (5) réduite à deux points A et B ; la droite AB est tangente à la Cayleyenne du réseau, et les deux points A et B sont conjugués harmoniques par rapport aux coniques du réseau (7) ; il en résulte que ladroite AB rencontre les coniques de ce réseau en des points en involution.
On en conclut que renveloppe des droites rencontrant trois coniques données en des points en involution est une courbe de troisième classe, qui est la Ca^jleyenne du réseau tangentiel conjugué du réseau ponctuel défini par les trois coniques données.
