b"b — a'b')zx + %(bb'—a"b")xy = ou
Ax- -+- Ay ■+■ AV + 2Byz -t- 2B';^ + 2B"xy = 0.
Le premier membre est carré parfait eu vertu des formules du numéro 23 ; sa racine donne le premier membre de l'équation de la droite PQ.
28. Pôle d'une droite par rapport à un système de deux points. — Soient P et Q les deux points donnés et A la droite. Cette droite rencontre PO en un point H, et le conjugué harmonique de H par rapport à P et. Q est par définition le pôle de la droite A par rapport aux points P et Q.
Connaissant l'équation
de l'ensemble des points P et Q, et les coordonnées w„, u , «■„ de la droite a, nous allons former l'équation du pôle de cette droite.
Considérons pour cela une droite quelconque D, de coor-
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données m, v, te, qui rencontre a on un point M ; toute droite passant par le point M s. des coordonnées de la forme Xw -h [»«„, Au -H nu , '-"' 4- [!«.'„, cl les valeurs de X et de n correspondant aux droites MP et MQ seront racines de l'équation
ou XY(«, c, te) -h MvfL^if % + Vf;,) + ff(u tt , v a , w B ) = 0.
Pour que !a droite D passe par le pôle de la droite A, il faut que MP et MQ soient conjuguées harmoniques par rapport à D et A, c'est-à-dire que les valeurs de - tirées de l'équation précédente soient égales et de signe contraire. On aura donc pour l'équation du pûle,
et par conséquent les coordonnées homfigi'iies de ce pôle sont
A,, /ï. et /■;„.
29. Dans le cas où les deux facteurs de f[u, v, w) sont mis en évidence, si par exemple
/'(», », >«) = PQ, P et Q désignant des fonctions linéaires et homogènes de u, v, it\ on verra sans peine que l'équation du pôle de la droite A est
P et Q désignant ce que deviennent P et Q quand on y remplace w, v, je respectivement par «„, v„, ir a .
30. Propriété du U'ian(|le. — Soit un triangle ABC; désignons
par A', B', C les pôles d'une- droite A par rapport aux roupies tir points (B, C), (C, A), (A, B) ; les droites AA', BB', CC eoncowenf en
v.n même point II. Si A", 11'', C" dèsii/nent le* points rie n-nciiiitrn (le a ai-ec les côtés BC, CA, AB, les droites B'C, C'A', A'It' passent res- /■■■r!-'.-.', „■■■)!/ fia-e les points A", R' ; , C". Enfin, soient Ai, Bi, Ci fc.î
points de rencontre des droites BB'eiCC, CC ef AA", AA" et BB"; (es droites AA], BB, e< CC] passent par le point II.
les équations des sommets A, Ti, C du triangle, et « 0I coordonnées de la droite a.
L'équation du point A' est
par conséquent le point qui a pour équatio
est situé sur la droite AA', et connue son équation est symétrique par rapport à P, Q, B, ce point est aussi situé sur les droites BB' et CC ; c'est ie point H.
Les équations des points B' et C sont
1 les retranchant, i
équation d'un point situé s il en résulte que H'C pass>
r O'C et aussi sur RÛ et sur la droite A ; par le point A".
L'équation Lvriérale îles points situés sur AA" est alors
ft
de même l'équation générale des points situés sur 1ÎU" est
il en résulte que l'équation du point Ci, intersection des droites AA" et BB", est
et l'on voit immédiatement que point II, puisque tous ies points de cette
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'..OOiwhj.wkivs TA.viiEYffiar.Ks,
GÉOMÉTRIE PLASE
/Il
en y faisant X = ~ , on obtient l'équation du point IL
On dit que la droite A est la polaire du point II par rapport ou triangle ; les résultats qui précèdent donnent un moyen très simple de construire le point H connaissant la droite A,
EXERCICES ET NOTES
1. TrmiifjH'-S lioniolnij iijui's. — >■';' deux triangles ont leurs sommets sur irai:: drodes Concoarantes, les côté* correspondants si' coupe.nl en trois point* en ligne droite., cl réciproquement, si les côtés de deux triangles se. coupent en 'rois points en ligne, droite, respondants sont deux à deux air trois droites Ci
Soient S = 0, A = 0, B — 0, C = les équations des points S.
Les points A', iî', C auront pour équations
A'=S+oA = 0, B'=S + &B — 0, C = S + cC = 0,
puisque ces points sont respectivement sur les droites SA, SB, SC.
Les points a. fi, y ont alors respectivement pour équations 6B — cC = 0, cC— «A — 0.
aA — &B = ; ils sont en ligne droite.
Établir la réciproque par un procédé analogue,
2. Si les n sommet* d'un polygone décrivent des droites concoitrttntes cl si n — I côtés passent par n — 1 points fixes, le n," côté passe par un point fixe, ainsi que les diagonales,
3. On considère toutes les eanigaes /Vissant pv.tr deux, points et tangentes à deux droites. Démontrer que la. corde de* contacts passe par un point fixe.
Prenons pour a\es les deux droites, k , y a et xi, iji désignant les i'.i)'inliii]]ii'-i.'s des deuN points.
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L'équation générale des coniques sera
îilzij + {me -+- vu + w'f — 0.
Ecrivons qu'elle passe par les deux points et éliminons À ; on
équation qui représente deux points, conjugués liarmonnjues ji;ir rapport aux deux points donnés.
Lit corde des contacts passe par l'un ou l'autre de ces points.
A. Ekmt donné un quadrilatère, on dé' 'erraine les pôles d'une droite par rapport au.e (rois systèmes de pointa, extrémités des trois diaiprnales ; démontrer que cea pôles sont m liijne droite. Cas ail la droite est ù l'infini.
5. Etant donnée une, équation du deuxième degré, f[u, v, it) = 0, qui représente deux- points, déterminer la distance de ces deux points.
En conservant les notations des numéro* 2'! fil suivants, [e carré
de cette distance est
Déduire do là la condition de réalité des deux points.
S. Trouver l'équation du cercle admettait! pour diamètre la droite joî'jV'iiit les deux points représentés par l'èiju.ntion f{u, v, icj — 0.
7. Étant donnée l'équation de deux points, fiu, v, ?<■) = 0, interpréter la condition f{u, v, w) > 0.
B. Soit ABCD un quadrilatère et A une droite quelconque , soit a le j,ôte de A par rapport aux points A et 11, £ le pôle de. cette même droite par rapport au..-: points {', et 11 ,■ wnons la droite 5'; ; faisans une construction analoyue sur les côtés opposés AC, BD et sur les diagonales AI), BC .' les trois droites obtenues passent par le même point.
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