GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES
31. Considérons maintenant une équation homogène, algébrique ou transcendante, entre les coordonnées v, v, w d'une droite,
Nous allons montrer nue toutes les droites dont les coordonnées satisfont à cette équation sont en général tangentes à une certaine courbe que nous chercherons à déterminer.
Le problème revient h chercher l'enveloppe de la droite qui a pour équation
„+ vy + VX t = Q (~>)
quand ses coeflicienls satisfont à l'équation (1).
Comme nous l'avons déjà dit, l'équation de la droite ne renferme que deux paramètres indépendants, lesquels sont liés par une relation ; nous sommes dans un cas particulier de la théorie générali] îles enveloppes. Il est bon de mettre en évidence les deux paramètres.
Remarquons pour cela que la droite dont on cherche le point limite") ne peut à la fois passer par l'origine et être parallèle aux deux axes ; nous pouvons donc supposer que l'un
(1) C'est-à-dire le poinl où la droite touche son enveloppe, ou encore la
portion lirniti.' du point do rencontre de celle droite avec la droilu infiniment voisine.
UL.NÉlt ALITÉS SUR LES CÛL'IUSES
il;? coefficients m, u, w esL différent de zéro, par exemple ni ^ ; ce codlicientpeut alors être considéré comme constant, il ne reste plus que les deux paramètres ucU; on peut appliquer la méthode générale, le point limite est déterminé par l'équation (2) et l'équation suivante :
qui peut aussi s'écrire
fi r. uf, + vn -«•/;; fi
ou
Si l'on supposait w jt 0, il est clair qu'on obtiendrait les mêmes équations (3). On voit donc que dans tous les cas et quelle que soit la droite considérée dont les coordonnées satisfont à (1), le point limite de cette droite est déterminé par les équations (2) et (3).
On aura l'équation de l'enveloppe en éliminant m, v, w entre les équations (2) et (3).
Il est en effet inutile de se servir de l'équation (1), puisqu'elle se déduit des équations (3; en tenant compte de la relation (2).
On obtiendra ainsi une équation homogène en x,y,z, qui sera l'équation d'une courbe, et toutes les droites dont les coordonnées satisfont à l'équation (1) seront tangentes à cette courbe.
