B'B" — AB = &A

AA'— B" 2 =a v A,

BB' — A"B" = b\.

Si A est nul, comme nous le supposons ici, les trois nombres A, A', A" sont de mémo signe.

Supposons maintenant que les deux points soient à distance finie, c'est-à-dire n"^l), et proposons-nous de déterminer dans quel cas ils sont réels.

On peut écrire

flii,t>,w) = ~ {a"w+bv+b'uf— (*"-y it ) 1 - Hm i- t - B ' B > + ay MB|

«*/■(«, u, w) = (a"w -\-bv-t- b'iif -+- AV — 2B"«u + AvK

Les deux nombres A et A' ne peuvent être nuls en même temps, car la relation

AA' — W 1 = a" A = entraînerait B" = Û ; f{u, v, w) serait alors carré parfait et les deux points seraient confondus.

Supposons A' =z= ; on aura

a°f{u,v,w) = (a'HH-iiH-ô'uJM-— , (A'u— B"u) a .

On voit alors que si A' < 0, /(w, u, w) est décomposable en un produit de deux facteurs réels, l'équation représente deux points réels.

Si A'> 0, elle représente deux points imaginaires.

Supposons maintenant a" — ; on peut écrire

f{u,9,w) = au 1 + a / u 3 + 2è"t(y + 2^(iuH-/Ai), et comme on a

A = — a/> 3 — a'6" ■+- %bb'b" = 0, on voit que èv-\-/>'u divise au* -h a'v' 2 -\- ié"uv, car en remplaçant dans cette dernière expression ;i par b et v par — b', on obtient

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Si donc b et b' ne sont pas nuls en même temps, l'équation représente deux points réels dont l'un est à l'infini.

Enfin si b = b' = 0, l'équation se réduit à au* + aV -+- 2ô*wu = ; elle représente deux points à l'infini, réels, imaginaires ou confondus, selon que aa' — b"' 2 ou A" est négatif, positif ou nul !l) .

Il résulte de laque si l'un des trois nombres de même signe, A, A', A", est différent de zéro, l'équation représente deux points distincts, réels si ce nombre est négatif et imaginaires dans le cas contraire.

Si les trois nombres A, A', A" sont nuls, tous les mineurs du discriminant sont nuls et l'équation représente un point double.

En résumé :

A -+- A' H- A" < 0; l'équation représente deux points réels; A -H A' -f- A" > ; — — deux points imaginaires ;

A + A'+A* = 0; — — un point double.

26. Cherchons maintenant l'équation de la droite qui joint ces deux points.

Cette équation peut s'écrire

*tW-tf) + y(v'-*f) + *[*?-&) - ».

Pour pouvoir exprimer les coefficients en fonction de

a, a', ..., multiplions le premier membre par jS-;' — yp' et remarquons que

(PT'-TP? = W + tfY- +PPV = 4(ô a -a'a") = — IA,

W - ïFXï* - «t'J = *n>P' -+- P=0 - (fr + tWCt»' + «rt

= 4(aT — W) = — 4B",

(Pt'-yW-M = 2??iP'+«'.'')-(?i'+';fW+ fV)

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22 COORDONNÉES TANGENTIELLES. OÉOMÉTKIE PLANE

L'équation de la droite peut donc s'écrire

Ax-hK'y +B': = 0.

En multipliant de même le premier membre de l'équation de la droite par f%' — a-f, puis par ap~ fia', on obtient successivement pour équation de la même droite B"x + k'y 4- C; = 0, B'x + Bi/-hA"; = 0.

Les premiers membres de ces équations sont les demi-dérivéea partielles do la fonction

y{x, y, s) = Aar a -i- A'y' -i- A"; 2 -+- 2D>/; -H 2B'sa; + 2B"ïj/, qui est ce qu'on appelle la forme adjointe de f(u, v, w).

Comme ces trois dérivées son! proportionnelles, celte forme est carré parfait (i; ', et en égalant sa racine à zéro on obtient l'équation de la droite qui joint les deux points.

Si donc on désigne par «', v\ w' les coordonnées de cette droite, on aura l'identité

d'où l'on déduit

u" = XA, v' 1 = U', w* = /A",

«W = XB, «.V = XB', uV = ÀB".

27. On peut obtenir ce résultat par un autre procédé plus simple.

Désignons par P et Q les deux points représentés par

l'équation (G) ; joignons ces deux points à un point quelconque M (a-, y, ;) du plan; les coordonnées des droites MP et MQ satisferont aux deux équations

/K », ») = U, uz-t-vy-\-icz — 0.

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Ces équations admettent en général deux systèmes de solutions ; si l'on écrit que ces deux systèmes sont les mêmes, on aura la condition pour que le point M soit sur la droiie PQ, c'est-à-dire l'équation de cette droite.

De la deuxième équation, tirons la valeur de te en supposant ; ^0, et transportons dans la première ; on obtient, en ordonnant par rapport à u :

u s (o: s — Hb'zx -+- a"x*) -+- 2uti(fiV — bzx — b'yz -+- a"xy)

-H^;o': 2 ~2/,i / :+«"y i ) = 0, et pour que cette équation admette une racine double, il faut qu'on ait {az 1 - ïb'zx -H aVXo's 1 - 2/ '.'/ : + a 'Yl

— (l/z 1 — bzx — b'yz -h a"xy) % — ; développons, supprimons le facteur = 3 qui n'est pas nul ; il reste [a ' a " - 6 V + (a'a - b»)y* + (aa> - b»*)z> + %b'b" - ab)yz