Propriétés métriques des coniques. — Pour reconnaître

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le genre d'une conique représentée par l'équation /•{U,'V,W)=aU i '+fl'V i +a , 'Wi+2fiVW+24'WU4-2i*UV=0, (10) il faut déterminer les points de rencontre de cette courbe avec la droite de l'infini, et étudier leur réalité.

En raisonnant comme au numéro 8i, il est aisé de voir que les points de rencontre de celte conique avec la droite (U,, V„ Wj) sont réels ou imaginaires selon que l'expression V(Ui, V,, Wi) est négative ou positive, i désignant toujours le déterminant

Gomme l'équation de la droite de l'infini est X sin A + Y sin B 4- Z sin C = 0,

nous aurons à considérer l'expression /"(sin A, sin B, sin C), qu'il sera commode de représenter par une seule lettre, F par exemple.

Nous poserons donc F = a sin 1 A -+- a' sin 3 B -1- a" sin 1 G -+- 26 sin B sin C

-1-26' sin C sin A + 26" sin A sin B.

En conséquence, si :

aF > 0, la conique est une ellipse ; iF < 0, la conique est une hyperbole ; F = 0, la conique est une parabole,

245. Si F 7^0, laconique a un centre, pôle de la droite do l'infini, qui a pour équation

sin A/' [ :-rsinB/ - v-!-sinC/; =

Les coordonnées de ce point sont alors

£{a, b, c), /;(a, b, c), ftfa, b, c).

Dans le cas de la parabole, l'équation qui précède représente un point h l'infini dans la direction de l'axe.

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COORDONNÉES TltlUTÈRES 277

246. Axes. — La détermination desdiamètres n'offre aucune difficulté.

Pour avoir les coordonnées des axes, nous remarquerons qu'un axe peut être considéré comme une droite ayant même pille par rapport à la conique et par rapport aux points cycliques.

Les coordonnées (U, Y, W) des sncs vérifieront les équations

U — V cos G — W eos B — U cos C -+- V— \V eos A

= fi - «

— U cosB — Vcos A+W " ou

(a — <i)U-h(6° + 5Cos CjV -+- (A' -t- <j cos B)W = 0,

(// -+- <r cos C)U -4- («' — *)V -+- (6 -h i cos A)W = 0, (fi' -h s cos B)UH- (6 + s cos A) V -+- (a" - t)W = 0. Pour que ces équations aient des solutions non toutes nulles en U, V, W, il faut qu'on ait

a — <r li -+- 7 cos C // + t co

t- ^ cos C a' — s b -+- a co 1

- ^ cos B 6 -f- 1 cos A a" — ■.

Le premier membre peut se décomposer en une somme de six déterminants.

Le coefficient de tr s est nul puisque les angles A, B, C sont les angles d'un triangle ; l'équation peut s'écrire

A — Et -h IV = 0, en posant

E — A+A' + A" — 2B cos A — 2B' cos B — -2B" cos C. A chaque racine de l'équation en s correspond un axe ; la discussion ne présente pas de difficulté ; cetfe équation a toujours ses racines réelles, el quand elles sonl égales, l'équation représente un cercle.

On voit donc que pour que l'équation (10) représente un cercle, il faut qu'on ait

4iF — E 1 = 0.

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278 COOBDONNÉES TAXGEKT1EI.LF.S. — GÉO.MÉ1KLE PLANE

Dans le cas de la parabole, l'équation en a est du premier degré, la courbe admet un axe unique.