Longueurs des axes. — Désignons par
l'équalion de la conique par rapport aux axes rectangulaires O.r et Oy dont l'origine, avons-nous dit, esl à l'intérieur du triangle de rél'érence.
On peut supposer que /'(U, V, W) se déduit de /",(«, s, to) à l'aide de la transformation (K), en supposant k .—. 1 ; on voit aisément qu'en faisant la même substitution, m 2 -(-u 8 devient
(js+V'n-W* — 2VW cosA — 2WU cos B — 2UV cos C,
de telle sorte que, quel que soil le nombre j, l'expression
se transforme en l'expression /'(U, V, W)
__ ;u» -t- V a -+- W — 2VW cos A — 2WU cos B — SUVcosC).
Si l'on désigne par Ai(n) et \(i) les discriminants de ces formes et par n le module de la transformation, on aura, quel que soit s,
Or, on a vu (125; que
A,(«r) = at«* — a(A, 4- Ai) + i„
iîI d'après l'analyse du numéro précédent,
4(,) = F««— Eo+A.
D'autre part le module de la substitution est (240) — ; on
aura donc
F , a E a n-A = |- i [a> s -T(A 1 +Ai)+.i 1 ];
on en tire
ll a
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. TliU.ATKKKS
Cela posé, les longueurs des demi-axes de la conique sont données par l'équation (130;
aî s p* H- flï(A, 4- Al)p a -t- Ai =0;
en remplaçant les coefficients par les valeurs qui précèdent on obtient
R'JFy + It 2 S 2 FE?2 + S'a = 0.
La conique sera un cercle si
K-— 4aF = 0, et une hyperbole équilatère si
Dans le cas où la conique est une parabole, son paramètre est donné par la relation
P -(A.+ Ai)-' li donne en coordonnées trilatères S'»'
248. — Foyers.- Comme au numéro 2'21, on aura les coordonnées des foyers en écrivant que l'équation
AU, v, W)
-oJU'+Y'h-W*— 2WcosA— 2WUcosB— 2UVcosC)=0 (11) représente deux points. Il suffit pour cela d'annuler le discriminant du premier membre, et on obtient l'équation en a du numéro précédent,
A chaque racine de cette équation correspondent deux loyers déterminés par l'équation (11).
On voit ainsi que les foyers sont situés sur les axes puisque
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280 COORDONNÉES TANGESTIELT.ES. OÙOMÉTHIE PLANE
les coordonnées do ces droites annulent les dérivées partielles du premier membre de l'équation (11) quand on y remplace o par une racine de l'équation en =.
249. Nous terminerons ces eonsidéralions en cherchant le lieu des sommets des angles droils circonscrits à la conique représentée par l'équation (10).
Les coordonnées des langenles issues d'un point X, Y, 7. à cette conî<[ue vérifient les équations
UX-t-VY+WZ = 0, fIX, V, W) = 0.
En éliminant \V entre ces deux équations, on a une équation homogène du second degré eu U et V qui peut s'écrire
L -2(aZ* __ -207.X ■+■ a"X 2 ) -H 2UV(6°Z 3 — V YZ - b'/X -+- a"XY)
+ y*(a>Z* — 2AYZ+a"Y ! ) = t), et en désignant par U. V, W et U', V, W les racines de l'équation précédente, et remarquant que l'équation en U et Y admet pour racines - et —, , on en déduil
UU' UV-j-VU'
a'yj 2bY£ -h a"Y* ~ —%i{"iï — VX'L — àZX -+- a"XY;
~~ <ï/:- — 2ft'zx + «"x-'
En éliminant successivement U et V on obtiendrait
vv v\v -+- wv
a"X î - 2/i'ZX + oZ s "~ — 2 [bX* — b"ZX — b'XY -h aYZ) Yv'W f ~a'X s — Sô'XY + flY*'
aY s jtfXY-t-o'X»
a"Y 2 — ibYZ-^a'ï 1 ; droites soienl perpendiculaires, on
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COORDONNÉES TRILATÈRES 2S1
doit avoir
UTJ' -+■ VV+ WW" — (VW + WV) cos A — (WL" -+- VW) cos B
— (uv+ vu')c° s c = t>;
on remplaçant Ut)', VV, olc. par les dénominateurs des rapports précédents, on obtient le Heu cherche-. On trouve l'équation
[a'-\-a"-+ Zb cos A)X 2 -f-(a"-i-"-t-2ô' cos B)Y il +!û+fï'+2//cos C)/ 1 +2YZ(a cos A— b—// cos C-// cos B) 4-2ZX(a'cosB— h'— 4* cos A— /;cosC) +2XY(a" cos C— U— h cos B— 6' cos A) - 0.
On peut reconnaître que cette équation représente un cercle
en l'écrivant sous la forme
/■cos A (/-hi+ïV/cosB a-i-a'+S'/'cosC,,
^(YZsinA-fZXsûiB-t-XYsinC} = 0. (12)
(XainA+YsinB+ZsinC)( -"— . , » ■„ ■ , ■■
v V sniA smB smC
sjnAsinBsiiiC
Or on sait que le cercle circonscrit au triangle do référence a pour équation
YZsïn A-hZX siu B4-XY sin C = (J; on en conclut que l'équafiun (1-2} représente un cercle, et l'axe radical de ce cercle et du cercle circonscrit au triangle de référence est
a'+a"+2écosA,. n°+a+2//cosB„ <H-a'l--2//cosC„ „ ,,„,
8 i„A X + SÏÏB V+ — ÏÏÏÏC Z =°' (13;
Dans le cas où la conique est une parabole, l'équation (12} représente deux droites dont l'une est la droite de l'infini ; la seconde, représentée par l'équation (13), est la directrice.
250. Si la parabole est. inscrite dans le triangle de référence, le? coefficients a, a', a" sent nuls et l'équation de la directrice s'écrit fcX cotg A -J- S'Y cotg B + b"7, cotg C = 0.
On a aussi la relation F = 2& sin B sin C -f- 20' sin C sin A -t- 2b" sin A sin B =
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2H2 COOKDOSSKES TAXGESTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE
Cette condition exprime que la directrice passe par le point qui a
pour coordonnées
A' côTT côTc' c ' est - à " (iire P ar ,e P oint ' les hauteurs.
EXERCICES ET NOTES
1 Distance d'un point à une droite.
Soit la droite L'X + VV + \VZ =
et le point (X,, Y,, Z,),
L'équation de cette droite s'écrit en coordonnées rectangulaire? homogènes (U(* cos 1 + j/ sin l— pi) 4-V(* cos (t + i/ sin p — qz)
+ \Y(as cos v + ;/ sin v — rs) = l), et par suite, en désignant par x,, iji, jj les coordonnées homogènes du point >,, tfi, s, étant liés à Xi, Yi, Z] par lus formules 3}], la dislance du point à la droite est
r..f,i-os>. ij^si iû /^i:- \':.' , ,ros;j-- yisin;! -v^i-W ...: ; o.'S v i-;/,sinv-)-;,)
±i ', ^l]cosX+Vco3F^\VcosV)H-,Usin'X+V9În[i.+Wsmï) 4
" l"X, +VYi + \V/i
± în/U s + V ï + \V*— ^W~côs~A"^TwïJ~cos B — âfcV cos C' l'.ri introduisant les coordonnées absolues s { , 'i l} -,-, du point, on
± ^l>+ y + W — 2VW cos A — a\VU cosB — 2UV cos C
2. 11 résulte de ce qui précède que l'équation tangenticlle d'un cercle de rayon K et dont les coordonnées du centre sont a, $, •( est
[U. + Vp + WT) 1
— R*(U* + V s +W a — aVWcos A — SWUcob B — 2UV cos C) = 0.
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COORDOXXÈES TR1LATÈRES 283
3. Distance de deux points. — Soient a,, p l( 71 et ^, $ t , -^ les
bourdon né es ti"il;ilr''i'(;s absolues des deux points ; an, y\ et se it i/j leurs coordonnées rectangulaires.
La dislance d des deux points est donnée parla relation
d*=(x, — « s ) a +fi/]— ys)*.
Or l'équation
(* — *'j î +{if-î/V = (I)
est l'équation des droites isoli'opes passant par le point a;', y'.
De même, en coordonnées l ri 1; itères, si Ton pose ,,([", V, W) s L 1 * + V* + W a — 2VW cos A - 2WU cos B — 2UV cos C, l'équation des droites isotropes passant par le point i', ?', y' sera
SiPY'-ï?'. 7«'-«ï'. «?'-p>') = 0.
Si dans cette équation on remplace i, 3, y en fonction de as, y, >n aura l'équation (i).
Kn tenant compte des formules de transformation (9) on pourra écrire
a '> ?'i *f' étaul. aussi remplacés en fonction de ,'c', y' ; [i est un coefficient indépendant de œ et de y.
(le les deux membres étant symétriques par rapport ù as, y et
x' , y', il en résulte aussi que ;.. est indépendant de a;' et ;/'. Un pourra donc écrire
d' ; = j 9 {'^y,—iA, Ti«.-«iT». «i^-P.M- À étant indépendant des coordonnées des deux points.
Nous déterminerons ;i en appliquant, celte formule à deux points particuliers, les sommets B et C du triangle de référence, dont la distance est a.
et par suite la distance cherchée est
