On donne un trianyle ABC et tin point P daJis son plan

1° Trouver le lieu. des contras t'as ioniques S inscrites ./arts (ê triangle ARC et qui sont vu:s du point ï 1 sous an angle donné <>i.

2° Discuter ce lieu en supposant que le point P se déplace dans le plan du triangle.

3° Démontrer que, si l'angle donné <o esï r(rO('(, toutes les coniques S .so»( atfïïi rircj souj mi «H</Ze droit d'un. a.utrepÂiit P'. 21/onfre)' r/i'C dannca cas, si h: point P se 'biplace, la droite PP' passe par un point fixe I et que le produit 1P X 1P' ast constant,

(Agrégation des Sciences mathématiques, 1&90.)

Voir une remarquable solution de M. Maluskj dans la Revue de Math.ématiques spéciales, tome I, p. 8.

8. On donne une conique inscrite dans an triangle ACC, et un point {.). Les droites OA, OB, OC rencontrent les cotes du trin.nijlc en A', B', C, qai constituent les sont,, têts d'un nouveau, triant/le A'B'C. Par chacun fies sommets de ce triangle on mène des tant/entes à !<i conique qui rencontrent les cotés opposés en trois points. i)é-

On pourra prendre pour triangle de référence le triangle ABC ou le triangle A'B'C.

9. Une conique étant inscrite à un triangle, si l'on désigne par P le produit de ses demi-axes et par i, '-, •• les dis'unces dit centre de la conique aux d'évités qui joigne, il les ;,!<heux dr* ■■étés du triangle,

P* = 4Rsj3y.

Prenons le triangle pour triangle de référence; l'équation Uuigentiiille de la conique sera

f(V, V, W) - 36VW + 2&'WU + 2ft*UV - I), et le carré du produit des demi-axes sera

F = 26 sin B sin C + 2b' sin C sïn A + 26' sin & sin B.

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28() COOBD0XKÉE8 TAXGENTIËt.LES. ■ — GÉOMÉTRIE PLAXE

D'autre part los coordonnées du centre de la conique sont if sin B + fe' sin C, b" sin A + b sin C , 6' sinA + 6 sln B;

on en déduit les r.oiii'de>nuéo- absolues en les multipliant jinr le iar-

Or l'équation de la droite qui joint les milieux do Al! et de AC

on en conclut que la distance du centre a cette droite est, toute réductions faites Ex. I), au signe prés,

SW&" S'A i P^ *3Y— aF i R t — 4F :l R s - 41l' el le théorème est démontré.

10. Lieu des pôles d'une droit': pur rapport aux coniques inscrites dans un triangle et p,assonl par un point donné.

Cas où la droite est à l'infini.

Si Ton prend le triangle pour triangle de référence, l'équation générale des coniques est

a&vw + aôTVU + s&*uv = o,

et pour écrire que cette conique passe p;ir le point donné ta, fi, ■>;;. on écrit que son équation ponctuelle est vériliée par les coordonnées de ce point, ce qui donne

ftSa 5 + 6'^ s -+- h° s f - ïb'b"'y : — 26*671 — 266'a£ = 0.

il. Il existe une infinité de coniques conjuguées par rapport ô un trianyle et tangentes à '<ne droite. Démontrer que toutes ces coniques sont tangentes à quatre droites fixes.

L'équation générale des coniques conjuguées par rapport au

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COORDONNÉES TRILATÈRES 2S i

triangle do référence est

aV + a'V 1 ■+- «."W = 0.

Si on écrit que celle conique louche la droite <u„, w , w ), on a

équation qui Mpi'ime aussi que la conique touche les Irois droilcs Théorème corrélatif.

12. On considère tics coniques inscrites dans un triangle ABC <■•' (iifes (i'«n point fixe sons un cingle droit. Bnceloppe d<:s côtés du triangle polaire de ABC.

13. On donne un triangle, ADC, une droite A et une conique tangente à cette droite. Par le point % oh la droite A rencontre le cote lit; on incite une tim<jente à ta conique qui rencontre en A' et en k" les tangentes issues du point A à cette même conique. Opérant i!e même pour les (leur, autres cotés, on obtient sic points A', A", I", li", C, C". Démontrer que ces six points sont sur une l'unique circonscrite au triangle ABC.

Soit AU, V,W)= «U a +c'V s -K... =0

l'équation de la conique, ABC étant le triangle de référence, ef n«, v„ w t les coordonnées de la droite A, avec la condition

la seconde l.aiiuï'nte issue du point a à la conique a pour coordonna nées «„ — — % v i>, w a , et la conique passant par les dnq poinl-

A, B, C, A', A" a pour équation ponctuelle

,z. +a -v.- 2ra -(^ +S [(„.-§)x + ,.v + ^.] = ».

Celle équation peut encore s'écrire, en tenant compte de (h,

awoYZ + a'c^X + afio.XY = 0, et comme cette équation est symétrique, le théorème est démontré

14. Soient s, S', o" les distances du centre d'une conique à trois tangentes, et p, a', p" les distances de ce centre aux points de con-

15. On donna un triangle ABC, une conique et un point sur cette coniqiie. Les droites 0A, 0B, OC coupent la conique respective'

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288 COOll DON-NÉES TAK6ESTIELLES. — «ÉOMÉTRIE PLANE

ment aux points A', [", C. l 'le plus, le côté RC rencontra wila conique ai' x points A". A'"; la côté AC aux points H", L'."' et le côté AU ■ i.ii.c points C'', (/". Démontrer que les ti-iooi/tas A'A"A", U'B''B"', C'C'C" .-vjjiï cF'iv(iiiït'i , i'i'.ï à une même conique.

16. Par les sommets A, B, C d'un triangle que, on mène <\ la courbe des tangentes qi>.

apposés en A', B', C ; /es milieux de AA', BB', CC sou

On peut prendre pour triangle île référence le triangle • :i laconique aux points A, B, C.

17. .Noos avons défini d'une manière purem ■•cordon nées trilaléros d'un point par les formule

Y — a s x -hhy + t

7,= thx-t-biy + e nous en avons déduit, les coordonnées l.i'ilaléres L, V, W d'une droite définies comme coefficients de X, Y, 'L dans l'équation de celte droite, et nous avons montré que ces coordonnées l T , V, \V étaient

liées aux coordonna

, c, ic de la droite par li

VV = A 3 in- D,o + C :i w.

, B,, désignant les coefficients de ir,,

;nt du déterminant

lin peut interpréter géométriquement ce de points et de droites.

Soient a-, y, z les coordonnées homogène; de coordonnées éianl. supposés l'eclangulaii

llésignons par />,, p ± . p : , les distances de

■ nouvelles coordonnée?

d'un point M, les axe:

; trois côtés liC, CA, Ai! du triangle de référence ABC, ces distances étant précédées du signe 4- ou du signe —, selon que le point M est situé

dans la légion positive ou négative du côté correspondant. On peut

d'ailleurs supposer que les équations de ces cotés sont écrites de telle

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COORDONNÉES TIULATFRES 289

manière que tout point de l'intérieur du triangle soit dans la régi ou positive des (rois eûtes.

Nous dirons que les nombres pu p.,, p v , sont les coordonnées trilatères absolues du point M.

On aura les formules

Kï+b?

fljû! + b-m -+- Ca=

Ia\-+-b\

et les relations (1) peuvent s'écrire

pX =pn/<if + 6f.

? Y = jWo| + t|.

s désignant un nombre arbitraire.

On voit ainsi que les coordonnées trilalères. du point M sont proportionnelles ans produits des coordonnées absolues de ce point par des nombres ikes.

De même, étant donnée une droite a, ayant pour coordonnées h'.iiuoiïèrîi's '.(. c, !'.-, désignons par ç t , q.<, q : . les distances des points A, lî, Cà cette droite, ces distances 6t;mt précédée- d'un signe déterminé par la convention suivante :

Deux distances ont le même signe ou des signes diiférents selon queles deux points correspondants sont d'un même côté ou non de lu droite.

Mous dirons que les nombres q,, q«, q 3 sont les coordonnées trilalères ukir.b.tes ele la droite A.

Comme les coordonnées homogènes des sommets 'A, lï, G du Irlande de référence sont respectivement (Ai, Hi, C,), (A,, B;, C 2 ), (A,, B s , C»), on aura

A,!f-t-B,p + C,ic

elles formules (3) peuvent s'écrire

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tU = SiCi,

*V = ÎI C I)

jW = ?3 C 3 , a étant un nombre arbitraire.

On voit ainsi que 1rs coordonnées tril, itères d'une droite sont proportionnelles aux produits (les coordonnées absolues du celle droite par des nombres fixes.

Inversement, on peut définir d'une manière purement géométrique les coordonnées (rilalères d'un point et d'une droite, indépendamment de tout autre .système de coordonnées.

Soit un triangle ABC ; désignons par pi, p 2 , ps 'es distances d'un point M du plan aux côtés BC, CA, AB, ces distances étant précédées, du signe -! ou du signe — selon que le point M est, par rapport au côté correspondant, dans la même région que le somme I opposé ; nous appellerons coordonnées liïlatères du point M les nombres X, Y, Z définis par les relations pX = k lPl , sY = A jP s, pZ = ft 3 Ps, Ai, k- 2 , h?, étant des nombres fixes et arbitrairement choisis, p ayant une valeur quelconque.

Si l'on se donne des valeurs de X, Y, Z, il n'existe qu'un seul point correspondant.

De même, étant donnée une droite, désignons par g,, q 2 , q, les distances (affectées désigne, comme on l'a vu plus haut) des sommets du triangle ABC à cette droite ; nous appellerons coordonnées Irilatères de la droite, les quantités L , V, W, définies par les rela-

<rU= hq u *V = h m ,

sW = fiscal

/ii, h t , h 3 étant des nombres iixes et ;ir!>i Irai renient choisis, a ayant une valeur quelconque.

Si l'on se donne des valeurs de V, V, W, il n'existe qu'une seule droite correspondante.

Étant ainsi en possession des coordonnées de points et de droites, il importe de chercher la relation qui doit exister entre les coordonnées d'un point et celles d'une droite pour que le point soit sur la droite ; autrement dit, il faut chercher l'équation ponctuelle de la droite et l'équation tanjientielle du point.

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.Y^Î'h-SÎ

Zt/sr+^i

COORDONNÉES THILATÊEËS 291

En tenant compte des valeurs précédemment cul culées de p ir pi, Psi, îii ?a, îa et en désignant par se, y, s, u, v, w les coordonnées homogènes du point et de la droite, les relations qui précèdent peu

vent s'écrire

aœ + bi + -Xv^f+Tï