TIC
AiU + fi.U + C.iC^T'-^p, A S ff + B 3 1> -+- C 3 M> — <r -j — •
On voit aisément que 2 (oi*+l>« + Cf*)(A,-w + BiiJ4-C,w) = D(K* + wy+w*); il en résulte la relation
? * L hk, ftjft, Ma J '
et par conséquent, la condition pour que le point soit sur la droite
/,,k l /(jfi; A a &:.
Mais si l'on veut que l'équation de la droite ait la forme simple
UX + VY+WZ = 0,
qui ne change pas quand on permute les coordonnées de droites et
de points, il faut choisir les nombres fti, fts, k s , h it 1^, h s de telle
manière que l'on ait
h,k, ' — ' hifd ~' Ma Dans les applications que nous avons faites des coordonnées trilatères, nous nous sommes donné les nombres lu, ft s , ?ï.i ; nous avons
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COORDOSSKES TAXf.EVl'ini.I.ES. GÉOMÉTRIE PLAISE
i résulte alors pour les nombres h t , /h, h., les valeurs
Quand on étudie lys propriétés métriques des ligures, oti détermine les coefficients des équations ik's côtés du t natale de référence de façon qu'on ait
<l ai + b* — v'^F+^l — M -+- H = ' ;
on a alors
ft, = ft, = ft, = 1.
et
Bin A ~~ sin B — sin c'
Les coordonnées trilatères du point son! proportionnelles aux
coordonnées absolues, et les coordonnées trilatères de la droite sont
proportionnelles aux produits des coordonnées absolues par les
sinus des angles du triangle.
Rien n'empêcherait de choisir d'abord les nombres h t , h lt h 3 , de supposer par exemple
h, — h t — lr. = I ,
afin que les coordonnées trilatères de la droite soient proportionnelles aux coordonnées absolues q„ î°, ffi.
On devrait alors choisir k u k.>, A a de telle manière que l'on ait
11 est clair que dans cette hypothèse, les formules relatives aux propriétés métriques des ligures ne seraient plus les mêmes.
Il eût été peut-être plus logique, dans une étude des coordonnées langentielles, d'adopter cette manière de voir ; nous avons préféré
la première pour ne pas modifier les formules relatives aux coordonnées ponctuelles qui sont, souvent employées.
18. De même que les coordonnées trilatères absolues d'un point vérifient la relation
api -+- bpû ■+■ epi = 2S,
les coordonnées trilatères absolues d'une droite vérifient une relation plus compliquée qu'on peut obtenir de la manière suivante :
Désignons par A', li', C les projections des sommets du triangle de référence sur la droite a ; on aura entre les longueurs B'C, C'A',
A'Il' une relation de la forme
i:ot)iiDMNM : ;]:s tjulatères a»o
B'C'±C'A'=hA'B' = 0, ce qui peut s'écrire
*/a s ~ (ja — slj 5 ± ^b 2 — {?:, — 2i) 3 ± A* — («' — îs} s = °- 0) Pour rendre cette reluliou ralioimclle, nous nous appuierons sur ia formule connue * 4 -+- P + ? - 2(PV + Y*»' + a ^ 2 ) =
- (« + P + Y){~ « + P + ï)(« - ? + ï)(« + P -T)- (X En prenant dans la formule (I) les radicaux avec les quatre combinaisons de signes possibles, et faisant le produit des expressions obtenues, on a d'après la formule (2)
[a» - (j, - 23 )=]i + [b 2 - (s* - 9OV + [c* - (2i - s,) 3 }'
- 2[[b* - (? 9 - sO l ][e a -(?i-î.) a ]-H[e i -(Si -3») s ][a a - («■ - 3s) 3 ]
+ :a 3 - (si - qtfW - (fi - îi) 2 ]] = o- (3; Les termes du quatrième degré en g n g,, g s peuvent s'écrire
i.3s — ïj)' + (9a — îi) 1 + (Si — S*) 4
— 2[(ï* - 9ii 2 (?t ~ 3i) 3 + (î- - 9»} s (îs — 3:) J + fa, — ? B )*(g 3 - ?i) 3 ], expression qui se déduit du premier membre de [2] en posant
z = q,~q: h ? — ïj— ïi, Y = ?i — ?s J
comme on a a -+- p + y = 0,
il en résulte que le deuxième membre est nul, il en est de même de cette expression.
La relation (3) peut alors s'écrire 2(?a — $*)W + c 2 — a ! j 4- i(g a — s ,)*(<!* 4- a 3 — b a ;
+ 2(?i — îij 2 (a 3 +h 2 — c ! j+a*+b i +c 4 — 2(h i c î +c-a--Ha'b 3 , — du encore, en remarquant que
a 1 + b 4 + c* — 2(h a c" 4- c 2 a ! 4- a 2 b 2 ) = — 16S 3 . d'après la formule (2),
a s îî + b-ql 4- c 3 g 2 — q-.q?.'.h- + c a — a 2 ) — q 3 q,{c 2 4- a 2 — b 2 ,
— îiîsfa* 4- b 2 — c ! ) = 4S S ou encore
a-'j'i-th-ql+c-ql — '2hc'j ± q. l cùsA~- ! icaq^2 l cosB — 2Ahq t q û vo^C--i5 2 - l
c'est la relation cherchée.
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