CHAPITRE XIV PROPRIÉTÉS DE DEUX ET DE TROIS CONIQUES

251. Etant données les équations do doux coniques en coordonnées rectilignes ou trilatères

f(u, v, w) = au i + a'v 1 ^-a"w i -{-2f>viv-h'2l>'ivu-i- , 2b"uv = 0, (G) /!(«, v, w) = a.rf-HfllBM-aîttM-aéiWO+ai'.wo+aiîuo = 0, (G,) l'équation générale des coniques inscrites dans le quadrilatère Q des tangentes communes est

f + lf, = 0.

Donnons à \ deux valeurs égales et de signes [contraires H et — \i; on obtient deux coniques

f+ vfx = 0, (C)

et il est aisé de montrer que les pôles d'une droite quelconque

par rapport aux quatre coniques C, C h C, 0, [pôles situés eu

ligne droite (187)] sont quatre points conjugués harmoniques.

Soient en elfe)

P. = tf/ï s + »/i % + »// % =

les équations des pôles de la droite (« , « , *<■„) par rapport aux coniques C et C,.

Les pôles de cette môme droite par rapport aux deux autres

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coniques auront pour équations

P -h HP, = 0,

P — fJLPj = 0,

et l'on voit que ces deux points divisant harmonique-mont les points P et P ( .

En particulier les points de contact de ces coniques avec un câté du quadrilatère Q forment une division harmonique,

On dit dans ce cas que les coniques C et Ci sont conjuguées harmoniques par rapport aux coniques C et Ci, et l'on voit sans peine que, réciproquement, les coniques C et Ci sont conjuguées harmoniques pur rapport à C et C',.

En outre, il est a peine utile de faire ohserverque cette propriété est indépendante du triangle de référence ou des axes de coordonnées.

252. Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour que quatre coniques soient conjuguées harmoniques est que les tangentes menées à deux des coniques conjuguées par un point commun aux deux autres coniques forment un faisceau harmonique.

Prenons pour origine un point commun aux deux coniques G et Ci, et pour axes les tangentes en ce point à ces deux coniques ; leurs équations pourront alors s'écrire

f= !I a -^26ra.•+2*Vu + a 1 'w , = 0, /', = v"- -f- 2ft,tw + 2ù' t wu -+- a",w % — 0. Considérons maintenant deux coniques inscrites dans le quadrilatère des tangentes communes à C et à C,,

f+yi = o, (C)

f+ H/1 = 0- (Ci)

Les tangentes menées de l'origine à ces deux coniques sont déterminées parles équations

u 1 -+- jiv- = ;

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i:noRiju.N:N! : :t:s ta>:i : .o nui.u-.s. -

et l'on voit aisément que pour que ces droites formant un faisceau harmonique, il faut et il suffit que

c'est-à-dire que les coniques C et C, soient conjuguées harmoniques par rapport à C et à C,. Le théorème est démontré.