Revenons à l'équation générale
des coniques inscrites dans le quadrilatère Q des tangente communes aux coniques C et C, ,
f[u,v, w) = aiï-^a'v'-^d'uP + tbvw-ï-lb'wu + WuQ = 0, (G) f,[u, v, w) = a l u i +-a' l v t +aïw*-h%b 1 vw+%biwit-h2b" l uv = 0. (C,)
L'équation ponctuelle de la conique qui a pour équation tangenliellc l'équation (I) est
-la, b"+U", //-hW, x hUl a'-i-Xa; i + X£, y +■ At>[ b -+- Xi, a* + Xa{ z v y 2
ou, en développant.
yp,(*, y, «) + X»(*, y, i) + F(«, y, où nous posons
F(aî, y, s) = Aa; s 4-A'j/' + AV + 2B(/ï-H2B'
Fi[x,y,z) = A,^ ï -i-A i ')/ a + A';s s -HâB 1 )/:-H2
*(», y, z) = {a'ai-j-a"a[ — 2bb i )x i '-\-(a"a 1 +
+ (ao' t + a' lit — 2é°6ï) z 3 -+- 2(i'ôï + i"i; -
+ 2(i'*i-l-Mî— a'i' t — 6'a;)za: + 2(fi6i4-6'
Les équations
F (or, y, a) = 0, P,(a;, y, z) =
sont les équations ponctuelles des coniques C et C,. Nous allons étudier la conique S qui a pour équation
M;4-2Bïtf>/.
aï-2i'*l)V s
[i a — ba,)yz
— a'bi—b'a^xy.
Hosted by
PKUl'lMlVl'ÉS DE DEUX ET DE TROIS CONIQUES 297
Les équations (1) et (2) sont les équations tangentielle et ponctuelle d'une même conique; on peut donc considérer l'éq nation (~2) comme exprimant la condition pour que le point (x, y, z) soit situé sur la conique (I); en d'autres termes, si l'on résout l'équation (2) par rapporta \, et si l'on transporte les racines dans l'équation .;!}, on obtient les équations des coniques du faisceau (1) qui passent par le point {x, y, s).
Il en résulte que l'équation
* (*, y, «) = o est le lieu des points par lesquels passent deux coniques du faisceau (1) conjuguées harmoniques par rapport aux coniques Cet Ci ou, d'après le théorème précédent. i L ij2}, celte conique S est le lieu des points tels que les tangentes issues de ces points aux coniques C et Ci forment un faisceau harmonique.
Il est aisé de voir que cette conique est conjuguée par rapport au triangle conjugué commun aux coniques C et C,.
En effet, si l'on prend ce triangle pour triangle de référence, les équations de C et de C : peuvent s'écrire au 3 -i-a'v 3 -+- a"w 3 — 0, diU ! -+- a[v 3 -+- alw 2 — 0, et la conique S a pour équation ponctuelle
(d'aj-t- a"al)x 2 + [a"a t -+■ aa'^y 3 -t-taaH-a'ai)^ = 0, et par suite, pour équation tangentielle
Les points de contact des tangentes communes aux deux coniques C et Ci sont visiblement des points du lieu; il en résulte le théorème suivant :
Les huit points de contact des tangente* amiir/anes à deux coniques sont sur une conique.
254. Si l'on suppose que la conique Ci se réduise à deux ), la conique S est le lieu du point M tel que les
A3t. 3i i on aupposu quo la. co points A et B, la conique S est !■
Hosted by
2UB cooiiDù\\i:i;s tam.kn'mixles. ■ — GkOMrcriuE plane
f angoules issues de ce point à la conique C soient conjuguées harmoniques par rapport à MA et MB.
Si en particulier les points A et B sont les points cycliques, la conique ï se réduit au cercle, lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique C.
On retrouve ainsi fort simplement l'équation obtenue au numéro 249 en supposant que fi(it, u, m;) = w s h- V e +w s — 2ow cos A — 2ww cos B — 2w«cos C.
255. En écrivant que l'équation (2) a ses racines égales, on obtient l'équation
