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qui représente l'enveloppe des coniques inscrites dans le quadrilatère Q, c'est-à-dire les côtés de ce quadrilatère Q luimême.

Nous obtenons ainsi l'équation de l'ensemble des quatre tangentes communes aux coniques C et Ci.

256. Corré/atheme)it,d\Mi\.dutinùosl(.'S équations ponctuelles de deux coniques,

F = Ax* 4- A')/ 3 -+- AV -+- 2Bj/ï + ZB'zx ■+- ï&xy - 0, F! = A l x>-\-\' l y l '-i-A' 1 z i + l 2.B i y3-h%B l 1 zx-h'ZBïvy = 0, l'enveloppe des droites qui rencontrent ces coniques en quatre points conjugués harmoniques est une conique qui a pour équation tangenticlle

? (w, i!, w) = (A'AÏ + A'Ai — 2BB,)u a -t-(A''A i +AA,— 2B'B/)» J + ( AA,' -+- A'A, — SB'BïK -r- 2(B'SÎ -H B"B( — AB, — Bk^vw -+- 2(B"B, -+- BB, — A'Bl — B'A,>« -1-2(BB 1 'h-B'B i — A'BJ — B"AÎ)«» = 0. (3)

Cette conique est conjuguée par rapport au triangle conjugué commun aux deux coniques et elle touche les huit tangentes menées aux deux coniques en leurs points communs, d'où l'on déduit le théorème suivant :

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l'KUl'iilÉTKS UE DEUX ET DE TROIS CONIQUES 2)jï)

Les huit tangentes à deux coniques en leurs joints d'intersection sont tangentes à une même conique.

Dans le cas particulier où les coniques données sont des cercles, elfes ont comme points communs les points cycliques, les tangente.-; passent par les centres; il en résulte que la conique (3) est tangente aux droites isotropes issues îles L'entres dus cercles, c'est-à-dire a pour foyers ces centres.

On peut le voir analytiquement en prenant pour axes la droite joignant les centres elune perpendiculaire au milieu ; les équations des cercles sont

aP + y*— lax + aï — R" = 0,

a? -t- y 1 + %ax -+- a* — R' 3 = 0, et la conique enveloppe a pour équation tangentielle

(2aa — R3 R 'j) wS - i -( 4a s Rî R'I)«' + 9miS = 0, conique qui a pour foyers les points (± a, 0).

En désignant par d la distance des centres, l'équation précédente peut s'écrire

[d* — 2(R i + R' 2 )]!i i + afd* — (R s + R' a )]e a -l-4ic a = 0.. On reconnaît que l'enveloppe n'est réelle que si

Si <P <R i -|-R' i , l'enveloppe est une ellipse ; Si d 2 > R 2 -\-H' 2 , l'enveloppe est une hyperbole; enfin dans le cas où d 2 = R J + FI'-, c'est-à-dire si les deux cercles sont orthogonaux, l'enveloppe se réduit aux deux centres, résultat qui est d'ailleurs fort connu.

Enfin si l'on désigne par

f(u,v, i«) = (A'A'-B>»+- = 0, f.{w,n,w) = {À' i ÀÎ-BÏ)ii'-l-- =0 les équations timgeniielk's cl lis deux coniques, l'équation

est l'équation iangMitidk: des qualre points de rencontre de ces deux courbes.