PROPRIÉTÉS DE DEUX ET DE TROIS CONIQUES

du premier degré en À et admet en gémirai une seule solution, à moins qu'elle ne soit identiquement satisfaite.

Théorème corrélatif. — Dans un faisceau tangentiel de coniques, il en existe en général une seule gui. soit Imrvioniqucmcnt inscrite à une conique donnée ; s'il y en a deux, toutes le sont.

La démonstration est immédiate.

259. Voici quelques conséquences fort simples de ces théorème 5.

1° Supposons que la conique S soit harmoniquement circonsciïto à G ; soient HK et MN deux cordes de S conjuguées par rapport à C ; toutes les conique:- passant par les quatre points H, K, M, X seront harmoniquement circonscrites à C, puisque dans ce faisceau de coniques la conique S et l'ensemble des droites HK et MN jouissent de cette propriété. Il en résulte que les couples de droites HM, KN et HX, KM seront conjugués par rapport à C.

Supposons, comme cas particulier, que la conique G se réduise aux points cycliques : S est alors une hyperbole cquilatère, HK et MN sont perpendiculaires ; il en résulte que HM est perpendiculaire h KN, HN a KM ; ce qui démontre une propriété bien connue de l'hyperbole équilatère.

2° Soient maintenant deux couples de points A, A' et B, B' conjugues par rapport à une conique S ; ces ensembles de

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S ; il en sera de même de toutes les coniques inscrites dans le quadrilatère ABA'B', en particulier les deux points de rencontre des droites AB, A'B' et AB',. A'B seront conjuguas par rapport à la conique S.

Nous obtenons ainsi une démonstration du théorème de Hesse déjà établi au numéro 238.

260. Théorème. — La condition néeessa ire et suffisante pour que

S soit harmoniquemeni. circonscrite à C est qu'il existe une infinité de /riari'ilcs inscrits dans S et conjugués -par rapport à C. 1" La condition est nécessaire. Supposons que S soit har-

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302 COORDONNÉES TÀNGENTIEJ.LES. GÉOMÉTRIE l'I.ANE

moniquement circonscrite à C. Soit P un point quelconque de la conique S ; prenons sa polaire par rapport à G, et désignons par Q et R les points do rencontre de celte polaire et de la conique S. Je dis que le triangle PQR est conjugue par rapport à C. En effet, par le point P menons une droite quelconque PP', qui rencontre la conique S au point P'. Le faisceau ponctuel des coniques qui passent par les quatre points P, Q, R, P' contient deux coniques, la conique S et l'ensemble des deux droites QR et PP', qui sont h arm uniquement circonscrites à C ; donc toutes les coniques de ce faisceau le sont également, en particulier l'ensemble de droites Pli et QP' ; ces deux droites sont donc conjuguées par rapport à C, et comme le point P' est un point arbitraire de la conique S, il en résulte que le point Q est le pôle de la droite PR par rapport à la conique C, et le triangle PQR est conjugué par rapport à cette conique.

2° La condition est suffisante. Soit PQR un triangle conjugué quelconque par rapport à G ; je dis que toute conique S circonscrite à ce triangle est harmoniquement circonscrite à G. En effet, prenons un point arbitraire P' sur la conique S ; le faisceau ponctuel des coniques qui passent, par tes quatre points P, Q, R, P' contient deux coniques, les ensembles de droites PP', QR et QP', PR, qui sont harmoniqueinenl circonscrites à C ; il en résulte que toutes les coniques du faisceau, et en particulier la conique S, sont harmoniquement circonscrites à G.

On voit ainsi qu'une conique liamioniqueincnt circonscrite à une conique donnée est cireonscriteaune infinité de triangles conjugués par rapport à cette seconde conique.

Corrélativement, on peut énoncer le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que C soit harmoniquement inscrite à S est qu'il existe une infinité de triangles

circonscrits à C ut conjugués par rapport à S.

Ce qui revient à dire que C est inscrit à une infinité de

triangles conjugués par rapport à S.

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