Théorème dc Stelner. — Le lieu des centres des coniques

inwrites à an triani/'e pour les'/ucl/e-i la somme n'es carras îles axes est constante ast un cercle ayant pour centre le point de concours des hauteurs dit triangle,

D'après ce qui précède, les centres de ces coniques ont même puissance par rapport au corde conjugué au triangle qui a pour centre le point de concours des hauteurs. Il en résulte que le lieu est un cercle concentrique au cercle conjugué.

C'est le cercle conjugué lui-même qu[ constitue le lieu dans ie cas où la somme des canes des axes est nulle, c'est-à-dire si les coniques sont des hyperboles équilatères.

263. Le cercle orthoplique il 'mie conique a pour limite la directrice si cette conique se transforme en une parabole ; les théorèmes du numéro 261 peuvent alors s'énoncer :

Les cercles circonscrits an.;; triangles conjugués par 'rapport à une parabole ont leurs centres sur la directrice.

Les cercles conjugués par rapport a.u:r, triangles circonscrits à Une parabole ont leurs centres sur la directrice, autreaient dit, le point de concours des hauteurs d'un triangle circonscrit à une parabole est sur la directrice.

264. Soit PQR un triante conjugué par rapport à une conique S, j'inscris une conique quelconque C dans le triangle PQIi ; il existe

alors un triangle inscrit dans S et conjugué par rapport à C.

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Supposons que Q et R soient les points cycliques. S est une hyperbole équilalère de centre P, G est une parabole de foyer P ; il en résulte que le foyer d'une parabole conjuguée par rapport à un triangle coïncide avec le centre d'une hyperbole équilatère circonscrite à ce triangle.

On en conclut que le lieu des foyers des paraboles conjuguées pur rapport à un triangle coïncide avec le lieu des centres des hyperbole* équilatères circonscrites au même triangle ; ce lieu commun est le cercle des neuf points.

265. A l'aide des considération? précédentes, on peut établir simplement, le théorème du numéro (12, à savoir que si les triangles

"bc et a'b'c' sont conjugués par rapport à une même conique S, leurs six sommets sont sur une conique.

En effet, soit C la conique qui passe par les points a, b, c, o', b' ; cette conique est barmoniquement circonscrite à S, donc la polaire de a' par rapport à S rencontre la conique G au point b' et en un autre point c{ tel que le triangle a'b'c', soit conjugué par rapport à S. Il en résulte que c', coïncide avec c'.

266. Réseaux tannent iels. — Étant données les équations tangentielles de trois coniques

/-,(«, v, w) = 0, f 2 [u, v, 10) = 0, ftfw, v, w) = 0, on appelle réseau langentiel relatif : ,t ces trois coniques l'ensemble des coniques définies par l'équation

Vi-t-V.-i-V. = o, (-•■)

où li, a s , >> 3 désignent des nombres arbitraires.

Si l'on se donne une relation linéaire et homogène entre les nombres X,, \ s , X 3 , de la forme

a,}., -+- « S A S + a^ — 0, l'équation (5) ne renferme plus que deux paramètres linéaires; elle représente un faisceau tangentiel de coniques, et l'on dit que le faisceau appartient au réseau.

Parmi toutes les coniques représentées par l'équation (5), il en existe uneinrinilé qui sont réduites à deux points ; nous allons démontrer que les droites joignant ces deux points, (droites qu'on appelle les droites doubles du réseau} enveloppent une courbe de troisième classe appelée la Cayleyenne du

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PROPRIÉTÉS DE DEUX ET DE TROIS CONIQUES JOo

réseau (du nom du géomètre anglais, M. Caïley, qui en a étudié le premier les propriétés).

Les coordonnées d'une telle droite vérifient les équations

1 àv

En éliminant X„ À 2 , l, entre ces trois équations, on obtient

0J\ dfr df,

au au du

àfi àfi dft

dv dv dv

*!i d l± Éh

dw ai, qui est l'équation langentielle de la Cayleyenne.

267. Cette courbe est aussi l'enveloppe des droites dont les pôles par rapport à toutes les coniques du réseau sont en ligne droite.

Considérons d'abord les trois coniques

les pôles d'une droite (m, < ques ont pour équations

w) par rapport à ces trois coni-

Ov dw

OV dit!

Ou àv dw

et pour que ces points soient en ligne droite il faut que i'équa-

Pa =

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tion (6) soit vérifiée, c'est-à-dire que la droite considérée soit tangente à la Cayleyenne.

Si cette condition est remplie, le point qui a pour équation M», -t- X a P s + X 3 P 3 = 0, c'est-à-dire le pôle de la même droite par rapport à une conique quelconque du réseau sera en ligne droite avec les points

268. Revenons à l'exercice résolu au numéro 188, et dans l'équation f(u, v, w) = considérons 1 et K* comme variables ; celle équation représente un réseau tangentiel défini par les coniques

qui représente une parabole,

et f-, = m" + î- 2 = 0, f 3 =: w 3 = 0,

qui représentent respec Li veinent les points cycliques et l'origine envisagée comme point double.

La Cayleyenne de ce réseau a pour équation

w[b"(u 3 — v")+(a' — a)uv — b'vw] = ; elle se décompose en un point, l'origine, ce qu'on pouvait prévoir, et une parabole P que nous avons étudiée. Celle parabole est donc l'enveloppe des droites dont les pôles par rapport aux coniques du réseau sont en ligne droite.

Or le pôle d'une droite par rapport au point double estee point lui-même; par rapport aux points cycliques, copule esta) 'infini dans la direction perpendiculaire à la droite ; il en résulte que la parabole I' est l'enveloppe des droites qui sont perpendiculaires aux droites joigiiiint l'origine à leurs pèles par rapport à une conique quelconque du réseau.

On peut également montrer que les droites dont on demande l'enveloppe dans l'exercice 188 sont des droites doubles du même réseau (').

Menons du point les tangentes OA et OB à une conique quelconque du réseau. L'ensemble des deux- points A el lî constitue une conique du réseau, donc la droite AB est tangente à la Cayleyenne.

Soit maintenant une tangente T à une conique quelconque du

('} Voir Nouvelles Annales, 3° série, tome VIII, p. 331, un excellent article île .>!. MxnciiAXii sur ce sujet, auquel nous avons emprunté quelques unes des remarques qui suivent.