PROPRIÉTÉS DE DEUX ET DE TBOIS CONIQUES

réseau, qui soit perpendiculaire à la droite joignant le point à son point de contact A. Le cercle de centre el de rayon OA appartient au réseau, il est tangent à la conique ; ce cercle et la conique admettent donc deux autres tangentes communes rencontrant ladroi Ici en deux points II et H' dont l'ensemble constitue une conique du réseau ; donc la tangente T est tangente à la Cayleyenne.

Enfin, les deux foyers (situés sur un même axe) d'une conique quelconque du réseau constituent une conique du réseau ; donc la droite joignant ces deux points, c'est-à-dire l'axe de la conique, est tangente à la Cayleyenne.

269. Théorème ÎCa.tSLEs). — Deux faUwnut: «iijiartenantàunmême réseau ont toajniir.ï uni: conique commune.

Soit, en effet, le réseau défini par l'équation

deux faisceaux appartenant à ce réseau aeroot déterminés par les deux équations

Oili + a,l, -H a 3 l 3 — 0,

&,Xi + fijlj -+- 5 B l a = 0,

qui déterminent toujours un système de valeurs pour X], X a , ï, 3 .

270. Considérons comme exemple le réseau défini par les trois coniques suivantes :

1° Un point double ;

2° Les points cycliques I et J ;

3" Une conique quelconque C.

Ce réseau est le même que celui que nous avons étudié au numéro 268, à celle différence près que la parabole est remplacée par une conique quelconque.

Fn combinant ces coniques deux à deux on a les trois faisceaux suivants :

I" Les cercles de centre O ;

2° Les coniques homofocales à C ;

3° Les coniques tangentes à C aux points de eontacl. G et G' des tangentes issues du point 0.

Il résulte alors du théorème précédent qu'élanl donné un faisceau quelconque appartenant au réseau, ce faisceau contiendra une conique luisant partie des trois faisceaux cités plus haut.

En particulier, étant donnée une conique homolocale à C, soit C,, et une conique tangente à C aux points G et G', soit C s , il existera

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un cercle de centre inscrit dans le quadrilatère des laneentcs communes à Ci et à (V

Supposons que la conique Ci se réduise aux foyers F et F' de la conique C et que la conique C 3 se réduise aux poinls G et G' ; les droites FG, FG', F'G, F'G' seront tangentes à un même cercle de centreO; on en déduit la relation