Application. — Considérons un réseau défini par deu
coniques l>i!.;i [lentes fa = 0, fa = et par les points l'yL'Iiquej fa = 0. Ce réseau a un point double P, pôle de la corde des contacts.
On peut, pourdéfinir le réseau, rem placer les deux coniques fa elfa par deux coniques ?, et o a homofocales respective, rient à fa et fa. Il existera alors une conique )>i tangente à fa, c'est-à-dire un cercle inscrit dans le quadrilatère-îles tangentes communes à o, et o 3l et dont le centre sera le point P.
Supposons que l'on prenne pourconiques ?i et <p s les foyers des coniques fa et fa ; en joignant les foyers de fa aux foyers de fa
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on aura un quadrilatère eirconserintible à un cercle ayant pour centre le point P.
On peut donc, énonce:- le théorème suivant :
Si deux coniques sont bitarujcnles, les foyers de l'une joints aux foyers de l'autre déterminent q/'.aire, droites tanyent.es à un Cercle ayant pour centre le point de rencontre des t ntyentes communes.
Si laconique fo se réduit à deux points situés sur la conique /i, on retrouve le théorème établi au numéro 270.
274. Réseaux ponctuels. — Étant données les équations ponctuelles de trois coniques
fi[x, y, z) = , tp s (tf, y, z) = , o 3 (a;, y, z) = ,
l'ensemble des coniques définies par l'équation
où [i,, i*2, H* désignent des nombres arbitraires, constitue ce qu'on appelle un réseau ponctuel de coniques.
Parmi toutes les coniques du réseau, il en existe une infinité qui sont réduites à deux droites, les points de rencontre de ces droites Mes points doubles du réseau) sont situés sur une courbe du troisième degré qu'on appelle la ffessienne du réseau et qui a pour équation
Cette courbe est aussi le lieu des points dont les polaires par rapport à toutes les coniques du réseau sont concourantes.
275. Réseaux conjugués- — La relation linéaire et homogène la plus générale entre les coefficients de l'équation tangentielle d'une conique C exprime que celle conique est harmoniquement inscrite à une autre conique.
Si on assujettit cette conique C à être barmoniquemenl ins-
àt»
àx
dx
Ta
iy
~âz
ÔI
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PROrlUKTKS DE DEUX ET DE TROIS CONIQUES àlï
crite à trois coniques données ayant pour équations ponctuelles
ïtfar, y, z) = 0, ^{x, y, z) = 0, rfa. V> *) = 0, on aura trois relations linéaires cl homogènes entre les coefficients de l'équation tangentielle de la conique C, et par suite ces coefficients seront fonctions linéaires et homogènes de trois paramètres ; il en résulte que l'équation générale tangentielle des coniques C sera de la forme
toutes ces coniques font donc partie d'un réseau tangentiel, et elles sont harmonique ment inscrites ii toutes les coniques du réseau ponctuel
On dit que les deux réseau* sont conjugués '■■''. Une conique quelconque du réseau (5) est harmoniquement inscrite à une conique quelconque du réseau (7), et une conique quelconque du réseau (7) est harmoniquement circonscrite à une conique quelconque du réseau (5).
276. Soit une conique du réseau (o) réduite à deux points À et B ; la droite AB est tangente à la Cayleyenno du réseau, et les deu\ points A et B sont conjugués harmoniques par rapport aux coniques du réseau (7) ; il en résulte que ladroite AB rencontre les coniques de ce réseau en des points en involution.
On en conclut que l'enveloppe des droites rencontrant trois coniques données en des points en involution est une courbe de troisième classe, oui est la Caylei/emie du réseau iangentiel conjugué du réseau pou: tuai défini par lex Croix coniques données.
