GÉNÉRALITÉS SCI! LES COURBES
Considérons un deuxième système d'axes, x'O'y', dôlinis [>arb>s coordonnées p, </ de l'origine 0' et par les angles i et p que fait Ox avec les directions OV et Q'y'.
L'équation do la droite D dans ce nouveau système sera de la forme
Nous nous proposons do calculer u, o et iv en fonction de u\ »' et >■■'.
Entre les coordonnées x, y, et x', y' d'un même point, on ii les formules connues
__ x' sin (0 — a) -+- y' sin (0 — p)
de telle sorte que l'éqoatîon de la droite D par rapport au ■ vslème x'O'y' sera
— '— . ' — ^— x'+ ■ — ■ y'-i-up-*-VÇ-{-lV = 0.
sin') smO ■' ' '
Mais comme nous écrivons aussi l'équation de cette droite sous la forme
«v + uy+w^o,
on aura
u sin (fl — a) + t. 1 sin a. . (
sinO ~~ " '
wp-HWJ + W — ).!(.'',
étant un nombre arbitraire, différent de zéro. lin résolvant par rapport à u, n, u\ on obtient
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u' sin 8 — v' sin a sin (p — a)
— u' sin (0 — fl) -4- w' sin (fl — a)
sin (3 — a) " — /JsinE+fjsinffl— S} , | psîn»— gsiii(1 — al
L sm(a-«) Bin(p-a) J" I
Telles sont les formules générale-- do la transformation de coordonnées.
Si
est l'équation tangentielle d'une courbe C par rapport aux axes xOy, on aura l'équation de celte mémo courbe par rapport aux axes a'O'y' en remplaçant u, u, w par leurs valeurs (4) en fonction de u', v', ir'.
Comme m, », w sont des fonctions linéaires et homogènes de m', v\ «v, le premier membre de l'équation de la courbe conservera le même degré.
C'est ce nombre qu'on appelle la classe de la courbe.
Le nombre X disparait dans la substitution.
Si les nouveaux axes sont parallèles aux premiers et ont le même sens, les formules (4) deviennent
„. = X{—pu> — qv' + «/). J
Enfin, on peut aussi définir les directions OV et 0';/' en donnant les coordonnées de leurs points directeurs ; c'est-àdire les coordonnées des points situés à l'unité de distanee de l'origine sur les parallèles à ces directions menées par ce même point 0. Si x, S et *', 3' désignent les coordonnées de ces points directeurs, on a les formules de transformation
y = Sx' 4- p'y' -+- q ;
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GENERALITES SLR LES COURUES ,1,1
on en déduit les formules
W = Ma H- Dp, 1
d'où l'on peut tirer «, u, îc en fonction de u', u', «A
35. in c/nsse d'une courbe est égal: nu nombre de tangentes qu'on peut mener à la courbe pur un point quelconque du plan.
Si' #oi î/o- -o désignent les coordonnées du point, les tangentes issues de ce point à la courbe seront déterminées par les équations
f{u, v, iv) = 0,
ux e + wj a -h wz a - 0,
et le nombre de solutions est égal au degré de la fonction
rt«, «, »)•
36. On sait qu'en général par un point on peut mener m(m — i) tangentes à une courbe de degré m ; il en résulte
que la classe de cette courbe est en général m{m — 1) ; mais ce nombre peut se réduire si la courbe présente des points multiples.
Comme les équations tangentielle et ponctuelle d'une courbe se déduisent l'une de l'autre par des calculs entièrement analogues, le degré d'une courbe de classe m est en général m(m. — 1); mais il peut se réduire, comme nous le verrons plus loin, si la courbe présente des tangentes multiples.
37. ISous allons maintenant appliquer ces considérations générales a quelques cas particuliers.
Nous avons vu au numéro 23 que si l'on suppose
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l'équation
f(u,v,w) = at?+JiP-htrw* + &vw+Wwi+Wm = (7)
représente deux points.
Supposons maintenant a jt ; l'équation représente alors une courbe de deuxième classe dont nous allons chercher l'équation ponctuelle.
Les relations
a n iï
■ntre lesquelles on doit éliminer u, u, w, peuvent s'écrire
au-hfZv + b'io — Xx = 0, '■
b"u -+- a'v-\-bw — /.?/ = 0, I
b'u + bv-+a'w~\z = 0, i
ux + vy + m =0. J
Le résultat de l'élimination est
équation qui est du deuxième degré ; donc les courbes de deuxième classe sont du deuxième degré.
En développant le déterminant qui figure dans le premier membre, on obtient un résultat tort remarquable, qu'on peut d'ailleurs faire apparaître plus simplement en dirigeant l'élimination d'une manière différente.
Résolvons les trois premières équations du système (8) par l'apport à u, v, w en appliquant la règle de Cramer, et en désignant comme nous l'avons déjà fait par A, A', A", B, B', B" les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement du déterminant a.
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. SUE M'S l";ijL"IUU:i
On obtient
iw = X(B'aJ + By+A's);
il ne reste plus alors qu'à transporter ces valeurs de m, v, m dans la dernicro équation du système (8), ce qui donne
? (ar, j/, z) = Aa' -+- A'y* -H A"; 2 + 2Bys + âB'za? + 2B"xi/ = ; (9)
on a ainsi l'équation ponctuelle de la conique. On vérifiera aisément que
si l'on désigne par i' le discriminant de la fonction o(i, y,z), | A B" B' I
on en conclut que \' ^£ 0, et par suite que l'équation (9) représente une véritable conique.
38. Réciproquement, si l'on donne l'équation ponctuelle d'une conique, l'équation (0), par exemple, on aura l'équation langentielle par un calcul identique ; on obtiendra l'équation
A B" IV u
(1) On le démon tri! fin faisant le produit fl>!» iltins déterminants i et i' ; on obtient un déterminant de même ordre dont tous les éléments sont nuls, sauf ceux i!t !;■ <l Ui goniile in-intrij.iule qui sont <-j;;iuï;i a. On a alors 4A'= i.-, d'où &' = A*.
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36 COOBDOXXÉES TANGESTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLANE
qui peut s'écrire, développée, en changeant le signe du premier membre,
a, a', a", ,3, S', 3" désignant les coefficients de A, A', A", B, B', B* dans le développement du déterminant a'.
Mais cette équation n'est autre que l'équation (7), puisqu'on a vu au numéro 2ô' que l'on avait
« = A'A" — B 2 = ai, 3 = B'B' — AB = «a ,
En résumé, pour déduire les équations langentielle et ponctuelle d'une conique l'une de l'autre, il suffit de remplacer dans l'une des équations les coefficients par les mineurs correspondants du discriminant et les coordonnées de droites par des coordonnées de points, ou inversement.
39. Nous avons vu, aux numéros 23 et suivants, que si A — 0, l'équation (") représente deux points, et que la
i'olICli'.Hl
■>[x, y, z) — Aœ ! -h \'i"~\- A."z i -i-2'Byz + S.B'zx -+- Wx>j
est carré parfait.
On peut donc dire que l'équation ponctuelle représente une droite double, qui est la droite joignant les deux points.
Si, de plus, tous les mineurs de a sont nuls, o[x, y, :) est identiquement nul.
On verrait de la même manière qu'étant donnée l'équation ponctuelle de l'ensemble de deux droites, le premier membre de l'équation tangentielle correspondante est carré parfait, de telle sorte que cette équation représente un point double, qui est le point de rencontre des deux droites.
Si les deux droites sont confondues, le premier membre de l'équation tangentielle est identiquement nul.
40. U est utile de pouvoir écrire immédiatement l'équation tangentielle d'une conique dont l'équation ponctuelle est simple, sans être obligé de recourir aux formules générales.
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GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES ai
On établira sans difficulté les résultats contenus dans le tableau suivant :
ÉQUATIONS TASCENTIELLES
'f-^al + , s 7 = o
-*px
xy — a<
41. Les équations qui figurent dans ce tableau sont des cas particuliers d'équations plus générales dont on trouvera les équations tangenlielles en appliquant ht méthode indiquée au numéro 32. On pourra ainsi dresser le nouveau tableau qui suit :
