GÉNÉRALITÉS SUR LES COURUES
dérivée de o pur rapporta a, car on peut, considérer o comme une i'oncl.ion de u délinie pur l'équation de lu courbe. L'équation du point de contact sera donc
Comme l'on a
on en deduif
fi
et l'équation devient
et eu introduisant la troisième variable, on obtient
45. Dans tout ce qui précède nous avons supposé que les coordonnées de la tangente I) n'annulaient pas les (rois dérivées partielles fù, fv,f,[: 1! en est toujours ainsi dans le cas où la courbe est une véritable conique.
Si l'on a
la dérivée v'„ a deux valeurs qui sont racines de l'équation
il en résulte que la droite D louche la courbe en deux points dont on a aisément les équations.
On dit alors que la droite D est une tangente double, ef il est facile de généraliser le raisonnement.
Dans le cas où le premier membre de l'équation, /Tu, », v), est algébrique et entier, on peut faire la discussion d'une manière plus simple, et obtenir l'équation de l'ensemble des points de contact d'une tangente multiple.
46. DéJliiitions. — On dit qu'une droite D est tangente simple à une courbe, quand par tout point de cette droite on ne peut mener à la courbe qu'une seule tangente confondue avec la droite D.
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Il n'y aura exceplion que pour lit point do contact, par lequel on pourra mener au moins deux tangentes à la courbe confondues avec la droite D.
On dit qu'une droite D est tangente multiple d'ordre p a une courbe, quand par tout point de cette droite on peut mener à lii courbe p tangentes confondues avec 3a droite D.
Il y a, en général, p points situés sur cette droite par chacun desquels on peut mener plus de p tangentes à la courbe confondues avec la droite D : ce sont les p points de contact de la tangente.
Nous allons montrer comment on peut analytiquement reconnaître l'ordre de multiplicité d'une tangente et déterminer ses points de contact.
Soit /"(U, V, W) =
l'équation supposée algébrique, entière eL de degré m, d'une courbe.
Désignons par w, v, ir les coordonnées d'une tangente D a. cette courbe ; on aura la relation
Prenons sur cette tangente un point A que nous déterminerons par l'intersection de la droite D cl d'une droite quelconque D' ayant pour coordonnées u', v', te' ; nous allons chercher les coordonnées des tangentes issues du point A à la courbe.
Une droite quelconque passant par le point A aura pour coordonnées Xw-f-pw', Xuh- pu', ho ■+■ ■{*!</ ; elle sera tangente à la courbe si l'on a
f(lu -+- (*«', Î.U -+- [«', ÀH.< -+- fittO = 0,
ou, en développant par la formule de Taylor, cl en remarquai)! que le coefficient de V" est nul,
).--'.«ia7';+..-/;+«'AI)+^^{»7 , ;+»'/.'+«'7;!,+'"=u. !io)
en désignant selon l'usage par (u'fû-+- v'fé ■+■ ""'/'''■) * l'expression obtenue en formant la puissance k de «'/"„ -+- v'fi -+- w'f,',
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