GÉNÉRALITÉS SDH LES COURBES

et en y remplaçant le produit de k dérivées partielles du premier ordre par une dérivée partielle du k' ordre. Ainsi

(mn-nur («+?+* = *)

se remplace par / a -.

Parmi les tangentes issues du point A, il y en aura autant de confondues avec la droite D que l'équation (10) aura de racines nulles en ji,

Supposons d'abord que fi, f{. el /',',. ne soient pas nulles en même temps ; alors quelles que soient les valeurs de u', v\ «''. c'est-à-dire quel que soil le point A, l'équation n'admet qu'une seule racine nulle; la tangente est simple.

Le point de contact sera déterminé en écrivant que l'équation (10) a deux racines nulles, c'est-à-dire

wu+v/f:.+w'f:,:=(i; (u)

ou a ainsi la condition pour que la droile y', v', »■' passe par le point de contact; on peut donc dire que l'équation du point de contact est

47. 11 peut arriver que le coefficient de p 2 dans l'équation (10)

soi! nul pour loutes les valeurs de u\ v', ir' satisfaisant à (11).

Dans ce cas, par le point de contact on pourra mener trois tangent*!!! confondues avec la tangente D; nous démontrerons que la courbe présente en ce point un point de rebrous sèment.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut que la forme quadratique en

ou

o'w'f," a . + 2ro't

, + S.iV/'

soi

t divisible par

u'fi.

,e discriminar

it de cette forme e.

il alors

nul

et l'on a