Etant donnée une courbe du quatrième degré ayant trois
points doubles à tangentes inflexionneUes, par un point de cette courbe on peut lui mener quatre tangentes antres que celle dont le point il,; c>nt"fl corneille acec le point considéré. Déoiontrer que le* quatre point:: de contact sont en ligne droite, La courbe donnée a pour équation langenlielle
Ak 5 + Bu 5 + Cte 5 — et pour équation ponctuelle [41:
Soi! !■%, 3, •') un point de cetlc courbe ; on aura
et les tangentes issues de ce point vérifient les équations
A»* + Be»+Cu> î = 0, (S)
Le point de contact d'une de ces langonics a pour coordonnées — , — , — ; il s'agit donc de démontrer qu'il existe des nombres
fixes m, n, p tels que les solutions des équations (2) et {3) vérifient la relation
Posons
A« 3 = a, Bu» — 6,
ClO» -
Les équatii
>ns (2), (3) et ( 1) peuvent s'éi
Tire
56 COORDONNÉES TANGEXTIELLES. — GÉOMÉTRIE PLAXIÎ
OU
en éliminant a', b\ c' entre ces équations, on a
le point de contât I dfi 1 ll tangente i:oïMCriU;r.ii1 avec le point a, 3, y. On aura donc
ce qui montre qui; les points rie contact sont sur la droite
14. Une tangente à la dàceloiipie d'une eUip-ui nuit. -outre la courba en quatre points autres que, le, pviitt de. contact. Démontrer que les tangentes en cm quatre points sont concourantes.
Ce théorème se déduit du précédent on permutant les variables te, y, î et it, v, ic, puisque l'équation ponctuelle de la développée d'une ellipse est de la forme
Aa^H-lV+C:» = 0.
I,es deux tliéorèmes «ont corrélatifs.
15. Par un point P, situé sur la circonférence inscrite à une
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hyiiov-irloide à quatre rebrous^emenu, menons quatre tangentes PA, PB, PC, PD à cette courbe.
i" La partie de l'une des tangentes, PD par exemple, comprise entre le» ti.miii:nti:s à lligpocgclo'ale en ses points de ) , clir»u*.sijr,i.ent, ••il ('■>■'.>'.■'■ <■)! )' ci;, f.'i'ifj; javrti'es < : i; ■■'/■■>.<.
2° Les «iffres tangentes PA, PD, PC rencontrent te cercle en trois points A, B, C j Ht swil te' sommet* d'un triangle èqitilat èral .
3° Si le cercle rencontre la tiingcn.tr en l'un des peints de rebroussement en E, cl la p'iraHète à cette tangent:' men: : e par P en F, l'arc EF est triple de l'un des arcs EA, EB, EC.
On peut envisager rhypoeycloideà quatre rebruussements comme l'enveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémilés décrivent deux droites rectangulaires,
I, 'équation tangentielle de celte courbe est
et le cercle inscrit a pour équation
16. Hayon de courlmre. — Pj oposons-nous de déterminer le rayon de courbure en un point d'une courbe définie pur son équation taille n Liclle.
Nous supposerons ic = 1, et l'équation de la courbe détinira u et v comme fonctions d'un même paramétre.
Considérons une tangente,
iMî + ui/H-1 = ; le point de contact satisfait à l'équation
tsdu -\-ijlv = ; n en déduit
D'autre part l'angle de contingence deux tangentes infiniment voisines,
(u-Hd»)as + (e-l-rf»)j/ + l
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OS COORDONNÉES TANGENTIEÏ.I.ES. (lÊOMÉTltlE PLANE
est déterminé par la relation
en négligeant les iiilinimoiii petits (Tordre supérieur; par suite le rayon de courbure est
(h (ditcPv — di-d*u)(u--\- v 1 ) 1
■ e — [iidv — vditj'- 1
17. En écrivant l'équation d'une droite sous la forme x cos a + y sin a — p = 0, on jieui. prendre pour roorilonii/::'* tangouivllas polaire.-: de la droite les quantités a et p.
L'équation tangentielle d'une courbe sera de la forme
Pour obtenir les coordonnées du point de contact d'une tangente, on résout les deux équations
x cos a-j- i/ sin a — p = 0,
celte dernière étant obtenue en di Itère n liant la première par rapport à «, et p' désignant la dérivée de p.
On en tire
x = p cos a—/ sin a,
(y =/Jsin a-f-p' cos a,
J = -(p+^) S ina,
ig = [p + p-J cos a, et par suite, en faisant la somme des carrés,
i- désignant l'arc et ; le rayon de courbure. L'équation du point peut s'écrire
p = A cos «-!- B sin a ;
e (ionique en geneia
p = A cos a-f-B sin ï± v ; 'C cus^ ï.'"t-~'l> sin â eos ; — 1- siïi- s- Les épicycloides ont une équation l.ingcntielle de forme très simple.
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[SCIPE DE DU A
On sail qu'une épicydoide est la courbe engendrée par un point de la circonférence d'un cercle mobile roulant sur un cercle fixe.
Considérons un cercle de rayon r roulant sur une circonférence fixe de rayon R. Soit A la position initiale de l'un des points de la circonférence mobile ; lorsque celte circonférence sera venue, dans son mouvement, loucher la circonférence fixe en A', le point A sera venu en M, de telle sorte que les deux arcs A A' et A'M soient égaux.
Désignons par ? l'angle AOA' ; l'angle A'C'M est alors égal à y-, et les coordonnées du point M
Ro\
r)co B? -rcos^ + ~I^
On en déduit
j l'on tir
■de telle sorte que l'équation de la tangente peut s'écrire
- Y ces ( <? + T
X sin If
On voit aisément qu'elle passe par le point K, connu.
['osons o -+■ gi = « + -^ ;
l'équation devient
X cos
Il t
..-(R+sn^^-^+ij. (-:
résulte que l'équation langenlielle polaire de l'épicydoïde
Si le cercle mobile est tangent intérieurement au cercle lixe, b
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1)0 COOIiDO.NNÉKS TAMIEXTIKLLES. CE OMET RIE PLANE
lien du point M estime hvpocycloïde don! l'équ;ition tan^entielle se déduit de la précédente on changeant r en — r, ce qui donne
Ces équations sont de la forme
p= z A sin («* + &), et on voit aisément que quels que soient A, a, b, cette équation représente une hypnt-ydoïde si a > 1, une épicycloïde si a < 1 ; seulement, si 6 est quelconque, l'axe des x ne passe pas par un point de rcbroussemcnt de la courbe.
On aurait pu obtenir plus rapidement l'équation langenlielle (i) en abaissant Oïl perpendiculaire sur la tangente KM, et en calculant cette longueur en l'onction de l'angle HO#.
On a
OH = OK sinOKH,
18. Chercher les i-'juati.ons tri.>><i-jivieH<>.s polaire* de la cardioïde, des hijjionjclnides à frais et quatre, vehrcuïsenumts et de la ci/clo'idc.
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